№38745

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что для любых точек \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) выполняется неравенство \(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \geq AC^2 + BD^2\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38729:

Положите \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} =\vec{BC}\) и \(\vec{c} = \vec{CD}\). Тогда \(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2 = (\vec{a} + \vec{c})^2\).