№38741

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что если диагонали четырёхугольника \(ABCD\) взаимно перпендикулярны, то и диагонали любого четырёхугольника, стороны которого соответственно равны сторонам четырёхугольника \(ABCD\), взаимно перпендикулярны.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38725:

Пусть \(\vec{а} = \vec{АВ}\), \(\vec{b} = \vec{BC}\), \(\vec{c} = \vec{CD}\) и \(\vec{d} = \vec{DA}\). Toгда \(d^2 = (\vec{а} + \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2 + b^2 + c^2 + \sqrt{2} (\vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c})\) и \(\vec{AC}\vec{BD} = (\vec{а} + \vec{b})(\vec{b} + \vec{c}) = b^2 + \vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c}\). Поэтому диагонали \(АС\) и \(BD\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(а^2 + с^2 = b^2 + d^2\).