№38750

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой составлена масса, равная сумме их масс.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38734:

Пусть точка \(О\) - центр масс точек \(X_{1}\), ..., \(X_{n}\), \(Y_{1}\), ..., \(Y_{m}\) с массами \(a_{1}\), ..., \(a_{n}\), \(b_{1}\), ..., \(b_{m}\), а точка \(Y\) - центр масс точек \(Y_{1}\), ..., \(Y_{m}\) с массами \(b_{1}\), ..., \(b_{m}\). Тогда \(a_{1}\var{OX_{1}} + ... + a_{n}\var{OX_{n}} + b_{1}\var{OY_{1}} + ... + b_{m}\var{OY_{m}} = \var{0}\) и \(b_{1}\var{YY_{1}} + ... + b_{m}\var{YY_{m}} = \var{0}\). Вычитая второе равенство из первого, получаем \(a_{1}\var{OX_{1}} + ... + a_{n}\var{OX_{n}} + (b_{1} + ... + b_{m})\var{OY} = \var{0}\). Это означает, что точка \(O\) - центр масс точек \(X_{1}\), ..., \(X_{n}\), \(Y\) с массами \(a_{1}\), ..., \(a_{n}\), \(b_{1} + ... + b_{m}\).