№38754

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Решите задачу 22.34 с помощью центра масс.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38738:

Пусть прямые \(АА_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в точке \(O\); \(AC_{1} : С_{1}В = p\) и \(BA_{1} : A_{1}C = q\). Нужно доказать, что прямая \(ВВ_{1}\) проходит через точку \(О\) тогда и только тогда, когда \(CB_{1} : B_{1}A = 1 : pq\). Поместите в точки \(А\), \(В\) и \(С\) массы 1, \(р\) и \(pq\) соответственно. Тогда точка \(С_{1}\) является центром масс точек \(А\) и \(В\), а точка \(А_{1}\) - центром масс точек \(В\) и \(С\). Поэтому центр масс точек \(А\), \(В\) и \(С\) с данными массами - это точка \(О\), в которой пересекаются прямые \(CC_{1}\) и \(AA_{1}\). Кроме того, точка \(О\) лежит на отрезке, соединяющем точку \(В\) с центром масс точек \(А\) и \(С\). Если точка \(В_{1}\) - центр масс точек \(А\) и \(С\) с массами 1 и \(pq\), то \(АВ_{1} : В_{1}C = pq : 1\). На отрезке \(АС\) есть ровно одна точка, делящая его в данном отношении \(АВ_{1} : В_{1}C\).