№38747

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Внутри треугольника \(АВС\) отмечена точка \(О\). Докажите, что \(S_{BOC}\var{OA} + S_{AOC}\var{OB} + S_{AOB}\var{OC} = \var{0}\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38731:

Положите \(\vec{OA} = OA\vec{a}\), \(\vec{OB} = OB\vec{b}\) и \(\vec{OC} = OC\vec{c}\); векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) имеют единичную длину. Левую часть искомого равенства можно записать в виде \(\frac{1}{2}OA \cdot OB \cdot OC (\sin{BOC} \times \vec{a} + \sin{AOC} \cdot \vec{b} + \sin{AOB} \cdot \vec{c})\). Проекции векторов \(\sin{AOC} \cdot \vec{b}\) и \(\sin{AOB} \cdot \vec{c}\) на прямую, перпендикулярную вектору \(\vec{a}\), равны по длине и противоположно направлены.