Решение №15092: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 9-2^{x}> 0, & & \\ 3-x\neq 0, & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3\neq x< \log _{2}9 \) Из условия \( \log _{2}\left ( 9-2^{x} \right )=3-x \Leftrightarrow 9-2^{x}=2^{3-x} \Leftrightarrow 2^{2x}-9*2^{x}+8=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( \left ( 2^{x} \right )_{1}=1 \), откуда \( x_{1}=0 \), или \( \left ( 2^{x} \right )_{2}=8 \), откуда \( x_{2}=3; x_{2}=3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Решение №15200: Перепишем уравнение в виде \( 3^{2x}+2^{x}*3^{x}-2*2^{2x}=0 \), и разделим его на \( 2^{2x}\neq 0 \) Тогда \( \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}+\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}-2=0 \Rightarrow \left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{x} \right )_{1}=-2 \), (нет решений) или \( \left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{x} \right )_{2}=1 \Rightarrow x=0 \)

Ответ: 0

Решение №15707: Преобразуем уравнение: \( 27+9*2^{4x}-2^{6x}-27*2^{2x}=8*2^{3x} \Leftrightarrow 2^{6x}-9*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{2x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{6x}-2^{4x}-8*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{2x}-1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{x}+1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27 \right )=0 \), откуда \( 2^{x}=1, x_{1}=0 \) Уравнение \( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27=0 \) решений не имеет.

Ответ: 0

Решение №15708: ОДЗ: \( x^{3}+2x+1> 0 \) Из условия \( 16*5^{2x-1}-2^{x-1}-0.048=0 \), или \( \lg \left ( x^{3}+2x+1 \right ) \) Перепишем первое уравнение в виде \( \frac{16}{5}*5^{2x}-\frac{2}{5}*5^{x}-0.048=0 \Leftrightarrow 16*5^{2x}-2*5^{x}-0.24=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x} \), получим \( 5^{x}=-\frac{3}{40} \) (нет решений), или \( 5^{x}=5^{-1} \Leftrightarrow x_{1}=-1 \) (не подходит по ОДЗ). Из второго уравнения имеем \( x^{3}+2x+1=1 \Leftrightarrow x^{3}+2x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}+2 \right )=0, x_{3}=0, x^{2}+2\neq 0 \)

Ответ: 0

Решение №15709: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( 4*2^{2\lg x}-2^{\lg x}*3^{\lg x}-18*3^{2\lg x}=0 \) Разделив его на \( 3^{2\lg x} \), получим \( 4*\left ( \frac{2}{3} \right )^{2\lg x}-\left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}-18=0 \Rightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=-2 \) (нет решений), или \( \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2} \Rightarrow \lg x=-2 \) Тогда \( x=10^{-2}=0.01 \)

Ответ: 0.01

Решение №15710: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0& & & \\ 3x+1\geq 0, x> 0 & & & \\ lg\left ( \sqrt{3x+1}+4 \right \)neq lg2x & & & \end{matrix} \right \) Из условия \( \lg 100-\lg 4+\lg 0.12=\lg \left ( \sqrt{3x+1}+4 \right )-\lg 2x\Rightarrow \lg \frac{100*0.12}{4}=\lg \frac{\sqrt{3x+1}+4}{2x}, 3=\frac{\sqrt{3x+1}+4}{2x}\Rightarrow \sqrt{3x+1}=6x-4, 6x-4\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+1=36x^{2}-48x+16 & & \\ 6x -4 \geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12x^{2}17x+5=0 & & \\ x \geq \frac{2}{3} & & \end{matrix}\right \) Корнями уравнения будут \( x_{1}= \frac{5}{ 12}, x_{2}=1; x_{1}= \frac{5}{12} \) не подходит.

Ответ: 1

Решение №15711: Из условия \( \log _{3}\left ( 81^{x}+3^{2x} \right )=\log _{3}90, 9^{2x}+9^{x}-90=0 \), откуда найдем \( 9^{x}=-10 \), что не подходит, или \( 9^{x}=9 \), откуда имеем \( x=1 \) .

Ответ: 1

Решение №15712: \( x\left ( lg5-lg10 \right )=\lg \left ( 2^{x}+1 \right )-\lg 6, x\lg \frac{5}{10}=\lg \frac{2^{x}+1}{6}, \lg 2^{-x}=\lg \frac{2^{x}+1}{6} , 2^{-x} = \frac{2^{x} +1}{ 6} , 2^{ 2x} +2^{ x} -6 =0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-3 \) (не подходит), \( 2^{x}=2 \), откуда имеем \( x = 1 \)

Ответ: 1

Решение №15713: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 4*3^{x}-6> 0 & & \\ 9^{x}-6> 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \log _{2}\frac{4*3^{x}-6}{3^{2x}-6}=1, \frac{4*3^{x}-6}{3^{2x}-6}=2\Rightarrow 3^{2x}-2*3^{x}-3=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 3^{x} \), найдем \( 3^{x}=-1,\varnothing \); или \( 3^{x}=3 \), откуда \( x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15714: Запишем уравнение в виде \( \frac{5^{2x}}{5}-5^{2x}=-2^{2x}-4*2^{2x}, -\frac{4}{5}*5^{2x}=-5*2^{2x}, \left ( \frac{5}{2} \right )^{2x}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}, x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15715: Имеем \( 5*5^{x^{3}}-5\frac{5}{5^{x^{3}}}-24=0 \Leftrightarrow 5*\left ( 5^{x^{3}} \right )^{2}-24*5^{x^{3}}-5=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x^{3}} \), получим \( 5^{x^{3}}=-\frac{1}{5} \) (нет решений) \( 5^{x^{3}}=5 \Rightarrow x^{3}=1, x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15716: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ 0< x-0.5\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0.5< x\neq 1.5 \) Умножив обе части уравнения на \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right \)neq 0 \), получим \( \log _{x+1}^{2}\left ( x-0.5 \right )=1 \Rightarrow \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=-1 \Rightarrow x-0.5=\frac{1}{x+1}, 2x^{2}+x-3=0, x_{1}=-\frac{3}{2} \) (не подходит по ОДЗ), \( x_{2}=1 \); или \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=1, x-0.5=x+1\), нет решений.

Ответ: 1

Решение №15717: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -1< x\neq 0 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \frac{5}{\log_{5}\left ( x+1 \right )}*\left ( -3 \right \)log_{5}\left ( x+1 \right )=\frac{x-4}{x}, -3x=\frac{x-4}{x} \), при \( \log_{5}\left ( x+1 \right \)neq 0 \) Отсюда \( 3x^{2}+x-4=0, x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=1; x_{1}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15718: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+2x-1> 0, & & & \\ 0< x^{3}+2x^{2}-3x+5\neq 1 & & & \\ 0< x\neq \frac{1}{2} & & & \end{matrix}\right. \) По формуле замены основания имеем \( \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=\log _{2x}2x \Leftrightarrow \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=1 \Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+2x-1=x^{3}+2x^{2}-3x+5 \Leftrightarrow x^{2}+5x-6=0 \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=-6; x_{2}=-6 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15719: ОДЗ: \( 3^{x}-5^{2-x}> 0. \log _{5}8+2\log _{5}5-\log _{5}\left ( 3^{x}-25*5^{-x} \right )=x\Leftrightarrow \log _{5}\frac{8*25}{3^{x}-25*5^{-x}} = x \) , откуда \( \frac{200}{3^{x}-25*5^{-x}}=5^{x} \Leftrightarrow 15^{ x} = 15^{ 2} \) Таким образом, \( x= 2 \)

Ответ: 2

Решение №15720: ОДЗ: \( 3^{ x } - 8 > 0 \) По определению логарифма имеем \( 3^{x}-8=3^{2-x}, 3^{x}-8=\frac{9}{3^{x}}, 3^{2x}-8*3^{x}-9=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( 3^{x} \), найдем \( 3^{x}=-1 , \O \); или \( 3^{x}= 9 \), откуда \( x = 2 \)

Ответ: 2

Решение №15721: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 4^{x}-6> 0 & & \\ 2^{x}-2 > 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \log _{\sqrt{5}}\frac{4^{x}-6}{2^{x}-2}=2 , \frac{2^{2x}-6}{2^{2}-2}= 5 , 2^{2x}-5*2^{x}+4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( \left (2^{x} \right )_{ 1}=1 \), откуда имеем \( x_{1}= 0 \), или \( \left ( 2^{x} \right )_{2}=4 \), откуда имеем \( x_{2}=2; x_{1}=0 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15722: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-2> 0 & & \\ 2x-3> 0 & & \end{matrix}\right. x> \frac{3}{2} \) Имеем \( 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )}*4^{-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )=\frac{2}{3}, \log _{8}\frac{\left ( 2x-2 \right )^{2}}{\left (2x-3 \right )}=4, x^{2}-4x+4=0, \left ( x-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15723: ОДЗ: \( 2^{x+1}-3> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{2}\left ( 2^{2x}+4 \right )-\log _{2}\left ( 2*2^{x}-3 \right )=x, \log _{2}\frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=x, \frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=2^{x}, 2^{2x}-3*2^{x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получаем \( 2^{x}=-1, \varnothing \); или \( 2^{x}=4 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15724: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 1, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \log _{a}x+\log _{a}\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \Rightarrow \log _{a}x\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \), откуда \( x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1; x_{2}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15725: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3, тогда \( \frac{3x^{2}}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}x}{2}=x+4 \Leftrightarrow 3x^{2}-2x-8=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=-\frac{4}{3}; x_{2}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15726: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x+1}*\left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{5} \Rightarrow \log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \log_{3}\left ( x^{2}-1 \right )=1, x^{2}-1=3, x^{2}=4 \) Отсюда \( x_{1}=-2, x_{2}=2; x_{1}=-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15727: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< 5x+3\neq 1, & & \\ 0< 3x+7\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> -\frac{3}{5}, x\neq -\frac{2}{5} \) Умножив уравнение на \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right \)neq 0 \), получим \( \log_{3x+7}^{2}\left ( 5x+3 \right )-2\log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )-1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )=1 \Leftrightarrow 5x+3=3x+7, x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15728: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( \frac{1}{3}\log _{2}x+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \log _{2}x+3\sqrt[3]{\log _{2}x}-4=0 \) Пусть \( \sqrt[3]{\log _{2}x}=y \) Относительно \( y \) уравнение принимает вид \( y^{3}-3y-4=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( 3y-3 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+3\left ( y-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+4 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+y+4> 0 \) Тогда \( y=1, \sqrt[3]{\log _{2}x}=1, \log _{2}x=1, x=2\)

Ответ: 2

Решение №15729: ОДЗ: \( x-2> 0, x > 2 \) Из условия имеем \( \log _{5}\left ( x-2 \right )+2\log _{5}\left ( x^{3}-2 \right )-\log _{5}\left ( x-2 \right )=4, \log _{5}\left ( x^{3}-2 \right ) =2 \) , откуда \( x^{3}-2=25, x^{3}=27 \) Тогда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15730: ОДЗ: \( 3^{x}-2^{4-x}> 0 \) . Из условия \( \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg 100+\lg 2-\lg 2^{x}\Rightarrow \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg \frac{100*2}{2^{x}}, 3^{x}-2^{4-x}=\frac{200}{2^{ x}} \) . Отсюда \( 6^{x}=216 \), откуда \( x=3 \) .

Ответ: 3

Решение №15731: \( 3^{2+5+8+...+3n-1}=3^{15} , 2+5+8+...3n-1=15 \) В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической прогресии \( S_{k} \), где \( a_{1}=2 , d=3 , a_{k}=3n-1 , k=\frac{a_{k}-a_{1}}{d}+1=\frac{3n-1-2}{3}+1 = n \) Тогда \( S_{k}=\frac{a_{1}+a_{k}}{2}*k=\frac{2+3n-1}{2} *n= \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2} \), и уравнение принимает вид \( \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2}=15, 3n^{2}+n-30=0 \) , откуда \( n = 3 \)

Ответ: 3

Решение №15732: Из условия \( 2^{2x}-5*2^{x}-24= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получим \( 2^{x}=-3, \varnothing \); или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15733: Из условия \( \frac{2x+10}{4}=\frac{9}{2^{x}*2^{-2}}, \frac{2x+10}{4}=\frac{36}{2^{x}}, 2^{2x}+10*2^{x}-144=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-18, \varnothing \), или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15734: ОДЗ: \( 4^{3x}+3x-9> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )+\log _{12}27^{x}=3x \Rightarrow \log _{12}27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x \), откуда \( 27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=12^{3x} \Leftrightarrow 4^{3x}+3x-9=4^{3x}, 3x-9=0, x=3 \)

Ответ: 3