Решение №15774: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{2}x+\frac{1}{2}\log _{2}x+\frac{1}{3}\log _{2}x=11, \log _{2}x=6 \), откуда \( x = 2 ^{ 6 } = 64 \)

Ответ: 64

Решение №15775: ОДЗ: \( x\geq 0 . 3^{\frac{1}{2}}*3^{\frac{x}{1+\sqrt{x}}}*3^{-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\left ( 1+\sqrt{x} \right )}}=3^{4}, 3^{\frac{1}{2}+\frac{x}{1+\sqrt{x}}-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2\left ( 1+\sqrt{x} \right )}}= 3^{4} \), откуда \( \frac{1}{2}+\frac{x}{1+\sqrt{x}}-\frac{2+\sqrt{x}+x}{2 \left ( 1+ \sqrt{x} \right )}=4, \Rightarrow x-8\sqrt{x} - 9 = 0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \); или \( \sqrt{x}=9 \), откуда \( x=81 \)

Ответ: 81

Решение №15776: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 7^{\lg x}-5*5^{lgx}=\frac{3}{5}*5^{\lg x}-\frac{13}{7}*7^{\lg x} , 35*7^{\lg x}+65*7^{\lg x}=21*5^{\lg x}+175*5^{\lg x} , 100*7^{\lg x}=196*5^{\lg x} , \left ( \frac{7}{5} \right )^{\lg x}=\left ( \frac{7}{5} \right )^{2} \), откуда \( \lg x=2 \) и \( x=100 \)

Ответ: 100

Решение №15785: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Записывая уравнение в виде \( \lg x^{1-\frac{2}{3}\lg x}=\lg \frac{1}{\sqrt[3]{100}} \) и логарифмируя обе части по основанию 10, получаем \( \left ( 1-\frac{2}{3}\lg x \right \)lg x =-\frac{1}{3}\lg 100, 2\lg ^{2}x-\lg x -2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg х \), находим \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{1}{2} \) или \( \left ( \lg x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}, x_{2}=10^{2}=100 \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{10}}; 100 )\

Решение №15786: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем \( \lg x^{lg^{3} x-5\lg x}=\lg 0.0001\Rightarrow \left ( \lg ^{3}x-5\lg x \right \)lg x=-4, \lg ^{4}x-5\lg ^{2}x+4 =0 \) .Отсюда \( \left ( \lg x \right )_{1}=-1, \left ( \lg x \right )_{2}=1, \left ( \lg x \right )_{3}=-2, \left ( \lg x \right )_{4}=2 \) . Тогда \( x_{1}=\frac{1}{10}, x_{2}=10, x_{3}=\frac{ 1}{ 100}, x_{ 4} = 100 \) .

Ответ: \( \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, 10, 100 )\

Решение №15789: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{2}^{2}4x+\log _{2}\frac{x^{2}}{8}-8=0, \left ( \log _{2}4+\log _{2}x \right )^{2}+\log _{2}x^{2}-\log _{2}8-8=0, \log _{2}^{2}x+6\log _{2}x-7= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{ 2} x \), найдем \( \left (\log _{ 2} x \right )_{1}= -7 \), откуда \( x_{1}=2^{-7}=\frac{1}{128} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{2}=2 \)

Ответ: \( \frac{1}{128}; 2 )\

Решение №15791: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq > 0 & & \\ 27-3^{1/3}> 0 & & \end{matrix}\right. \lg 3^{1+\frac{1}{2x}}+\lg 2=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ) * \lg \left ( 2*3^{1+\frac{1}{2x}} \right )=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ), 2*3^{1+\frac{1}{2x}}=27-3^{\frac{1}{x}} , 3^{\frac{1}{x}}+6*3^{ \frac{1}{ 2x}} -27 =0 \) Это уравнение, квадратное относительно \( 3^{\frac{1}{2x}} \) ; найдем \( 3^{\frac{1}{2x}}=-9 \), которое не подходит, и \( 3^{ \frac{1}{2x}}= 3 \), откуда \( x=\frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} )\

Решение №15792: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+1.5> 0 & & \\ x> 0 & & \end{matrix}\right. \lg \left ( x+1.5 \right )+\lg x=0\Rightarrow \lg \left ( x+1,5 \right )x=0\Rightarrow x^{2}+1.5x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-2; x_{2} =-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: \( \frac{1}{2} )\

Решение №15795: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 2^{2x+2y}=2^{y-x} & & \\ 2^{\log _{2}x^{4}}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y=y-x & & \\ x^{4}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=-3x \) Из второго уравнения \( x^{4}=\left ( -3x \right )^{4}-5, x^{4}=\frac{1}{16} \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=\frac{1}{2}, y=-\frac{3}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2}; -\frac{3}{2} )\

Решение №15798: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 27. Имеем \( \frac{2}{\log _{x}27}-3\log _{27}x-1=0\Rightarrow 3\log _{27}^{2}x+\log _{27}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{27}x \), получаем \( \left (\log _{27}x \right )_{1}=-1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{27} \), или \( \left (\log _{27}x \right )_{2}=\frac{2}{3} \), откуда \( x_{2}=27^{\frac{2}{3}}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{27} ; 9 )\

Решение №15805: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{x}{2}}*2^{\frac{x}{3}}*2^{-\frac{1}{2x}}=2^{2}*2^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}}=2^{2+\frac{1}{3}} \), откуда \( \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}=\frac{7}{3}, 5x^{2}-14x-3=0 \) Тогда \( x_{1}=-\frac{1}{5}, x_{2}= 3 \)

Ответ: \( -\frac{1}{5}, 3 )\

Решение №15808: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( \frac{\log _{3}9x^{2}}{\log _{3}x}*\log _{2}^{3}x=4 , \left ( \log _{3}9+\log _{3}x^{2} \right \)log _{3}x=4 , \log _{3}^{2}x+\log _{3}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), найдем \( \left ( \log _{3} x \right )_{1}= -2 \), откуда \( x_{1}= \frac{ 1}{ 9} , \left (\log _{3}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{ 2 }= 3 \)

Ответ: \( \frac{1}{9} ; 3 )\

Решение №15809: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{3}x*\frac{1}{2}\log _{3}x*\frac{1}{3}\log _{3}x*\frac{1}{4}\log _{3}x=\frac{2}{3} , \log _{4}^{3}x=16 \), откуда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \) или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\frac{1}{9}. x_{2}=9 \)

Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\

Решение №15846: \( \log _{\sqrt{3}}\sqrt[6]{a}=\frac{1}{6}*2\log _{3}a=\frac{1}{3\log _{a}3}= \frac{1}{\log _{a}27} = \frac{1}{b} \)

Ответ: \( \frac{1}{b} )\

Решение №15847: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-y> 0 & & & \\ x+y> 0 & & & \\ 0< xy\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} x-y=xy & & \\ x+y=1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=1-x, x-\left ( 1-x \right )-x\left ( 1-x \right )=0, x^{2}+x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, y_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \) Тогда с учетом ОДЗ имеем \( x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2} )\

Решение №15849: ОДЗ: \( x-4> 0, x> 4 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \), имеем \( \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{1}=-2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{2}=2; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{3}=-3; \left ( \log _{2}\left ( x-4 \right ) \right )_{4}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{17}{4}, x_{2}=8, x_{3}=\frac{33}{8}, x_{4}=12 \)

Ответ: \( \frac{17}{4}, \frac{33}{8}, 8, 12 )\

Решение №15853: Имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{x}\left ( \frac{25}{9} \right )^{-2x^{2}+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{-2x^{2}+x+24}=\left ( \frac{3}{5} \right )^{9}, -2x^{2}+x+24=9, 2x^{2}-x-15= 0 \), откуда \( x_{1}=-\frac{5}{2}, x_{2}=3 \)

Ответ: \( -\frac{5}{2}, 3 )\

Решение №15854: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 1 & & \\ x\neq \frac{7}{3} & & \end{matrix}\right.\) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{3x-9}{3x-7}}*2^{-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0}, 2^{\frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{0} \), откуда \( \frac{3x-9}{3x-7}-\frac{3x-1}{3x-3}=0\Rightarrow x=\frac{5}{3} \)

Ответ: \( \frac{5}{3} )\

Решение №15855: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 1-x> 0, & & \\ 1-x\neq 1, 0\neq x< 1 & & \end{matrix}\right \) Из условия \( \log _{1-x}\frac{3}{2}=0.5\Leftrightarrow \frac{3}{2}=\sqrt{1-x}\Rightarrow \frac{9}{4}=1-x \), откуда \( x=-\frac{5}{4} \)

Ответ: \( -\frac{5}{4} )\

Решение №15856: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Из условия \( 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}*5^{-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}=5^{ \frac{ 2}{ 3}} \) Отсюда \( \frac{1}{x-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}, 2\left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\sqrt{x}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), Найдем \( \sqrt{x}=-2, \varnothing \); или \( \sqrt{ x}= \frac{ 3}{ 2} \), откуда \( x= \frac{9}{ 4} \)

Ответ: \( \frac{9}{4} )\

Решение №15857: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем \( \log _{4}x^{y}, \log _{4}4^{6}. y\log _{4}x=6 \) Отсюда \( \left\{\begin{matrix} y=1+\log _{4}x, & & \\ y\log _{4}x=6 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( 1+\log _{4}x \right \)log _{4}x=6, \log _{4}^{2}x+\log _{4}x-6=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{4}x \), найдем \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-3, \left ( \log _{4}x \right )_{2}=2, x_{1}=\frac{1}{64}, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=-2, y_{2}=3\)

Ответ: \( \left ( \frac{1}{64}; -2 \right ), \left ( 16; 3 \right ) )\

Решение №15860: Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим \( \frac{3^{x}*4^{y}}{2^{x}*3^{y}}=\frac{12}{6}, \frac{3^{x-y}}{2^{x-2y}}=2, 3^{x-y}=2^{1+x-2y} \) Это равенство возможно, когда \( \left\{\begin{matrix} x-y=0, & & \\ 1+x-2y=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow x=y, 1+y-2y=0, y=1 \) Тогда \( x=y=1 \)

Ответ: \( \left ( 1; 1 \right ) )\

Решение №15861: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y+x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( 3^{y+2x}=3^{4}, y+2x=4, y=4-2x \) Из второго уравнения системы \( \lg \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=\lg 9 \), откуда \( \frac{\left ( y+x \right )^{2}}{x}=9 \) Тогда исходная система приобретает вид \( \left\{\begin{matrix} y=4-2x & & \\ \left ( y+x \right )^{2}=9x & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-17x+16=0 \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=16 \) Тогда \( y_{1}=2, y_{2}=-28 \)

Ответ: \( \left ( 1; 2 \right ), \left ( 16; -28 \right ) )\

Решение №15862: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} xy=36, & & \\ x+y=20, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=2, & & \\ y_{1}=18; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=18, & & \\ y_{2}=2. & & \end{matrix}\right.

Ответ: \( \left ( 2; 18 \right ),\left ( 18; 2 \right ) )\

Решение №15863: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0 & & \\ y> 0 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^{4}, 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 \) Из второго уравнения системы получим \( \sqrt{xy}=30, \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 \) Система принимает вид\( \left\{\begin{matrix} \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 & & \\ \sqrt{x}*\sqrt{y}=30 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-2\sqrt{x}-15=0 \), откуда \( \sqrt{x}=5 \), или \( \sqrt{x}=-3 \), (не подходит). Тогда \( \sqrt{y}=6 \) Следовательно, \( x=25, y=36 \)

Ответ: \( \left ( 25; 36 \right ) )\

Решение №15864: Перепишем систему уравнений в виде \( \left\{\begin{matrix} \left ( 3^{x}-2^{y/2} \right \)left ( 3^{x}+2^{y/2} \right )=725, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}+2^{y/2}=29, & & \\ 3^{x}-2^{y/2}=25 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{x}=27, & & \\ 2^{y/2}=2, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( \left\{\begin{matrix} x=3, & & \\ y=2. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 2 \right ) )\

Решение №15865: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1, & & & \\ y> 0, & & & \\ \log _{1/9}\frac{x}{y}> 0\Rightarrow 0< \frac{x}{y}< 1 & & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы \( xy=x^{4} \) или с учетом ОДЗ \( y=x^{3} \) Из второго уравнения имеем \( \log _{1/9}\frac{x}{y}=1, \frac{x}{y}=\frac{1}{9} \) Исходная система переписывается в виде \( \left\{\begin{matrix} y=x^{3} & & \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{9} & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{9} \), откуда с учетом с ОДЗ \( x=3, y=27 \)

Ответ: \( \left ( 3; 27 \right ) )\

Решение №15866: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-2y> 0, & & \\ 3x+2y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \left\{\begin{matrix} 2^{3+\frac{x-y}{2}}=2^{3-y}, & & \\ \log _{3}\left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3+\frac{x-y}{2}=3-y, & & \\ \left ( x-2y \right \)left ( 3x+2y \right )=27, & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x=-y, & & \\ y^{2}=9 & & \end{matrix}\right. \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=3 y=-3 \)

Ответ: \( \left ( 3; -3 \right ) )\

Решение №15867: Из условия \( \left ( 2^{\frac{x+y}{6}} \right )^{2}+2^{\frac{x+y}{6}}-6=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\frac{x+y}{6}} \), имеем \( 2^{\frac{x+y}{6}}=-3, \varnothing \); или \( 2^{\frac{x+y}{6}}=2 \), откуда \( \frac{x+y}{6}=1, x+y=6 \) Из второго уравнения системы \( x^{2}-6yx+5y^{2}=0 \), решая его как квадратное относительно \( x \), имеем \( x_{1}=y, x_{2}=5y \) Исходная система эквивалентна двум системам:\( \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=y; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x+y=6, & & \\ x=5y; & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3 & & \\ y_{1}=3 & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=5 & & \\ y_{2}=1 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 3 \right )\left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15868: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем: \( 2\log _{y}^{2}x-5\log _{y}x+2=0 \), откуда, решая это уравнения как квадратное относительно \( \log _{y}x \), найдем \( \left ( \log _{y}x \right )_{1}=\frac{1}{2} \), или \( \left ( \log _{y}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\sqrt{y}, x_{2}=y^{2} \) Из второго уравнения системы найдем \( y^{3/2}=27, y_{1}=9 \) Подставляя значение \( x_{2}=y^{2} \), найдем \( y_{2}^{3}=27, y_{2}=3 \) Учитывая ОДЗ, имеем \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=3, & & \\ y_{1}=9; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=9, & & \\ y_{1}=3. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 3; 9 \right ) , \left ( 9; 3 \right ) )\