№15870

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить системы уравнений: \( \left\{\begin{matrix} \log _{y}x+\log _{x}y=\frac{5}{2} & & \\ xy=27 & & \end{matrix}\right. \)

Ответ

\( \left ( 3; 9 \right ) , \left ( 9; 3 \right ) )\

Решение № 15868:

ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем: \( 2\log _{y}^{2}x-5\log _{y}x+2=0 \), откуда, решая это уравнения как квадратное относительно \( \log _{y}x \), найдем \( \left ( \log _{y}x \right )_{1}=\frac{1}{2} \), или \( \left ( \log _{y}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\sqrt{y}, x_{2}=y^{2} \) Из второго уравнения системы найдем \( y^{3/2}=27, y_{1}=9 \) Подставляя значение \( x_{2}=y^{2} \), найдем \( y_{2}^{3}=27, y_{2}=3 \) Учитывая ОДЗ, имеем \( \left\{\begin{matrix} x_{1}=3, & & \\ y_{1}=9; & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_{2}=9, & & \\ y_{1}=3. & & \end{matrix}\right. \)