Решение №40539: Рассмотрим задачу о векторах \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\) на плоскости.

1. Определим векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\):
   • Вектор \(\vec{АВ}\) направлен от точки \(A\) к точке \(B\).
   • Вектор \(\vec{ВА}\) направлен от точки \(B\) к точке \(A\).
2. Анализ утверждений:
   • а) Имеют одинаковые длины:

     Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна расстоянию между точками \(A\) и \(B\). Длина вектора \(\vec{ВА}\) также равна этому расстоянию. Таким образом, длины векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\) равны.

   • б) Сонаправлены:

     Векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\) имеют противоположные направления. Вектор \(\vec{АВ}\) направлен от \(A\) к \(B\), а вектор \(\vec{ВА}\) направлен от \(B\) к \(A\). Следовательно, они не сонаправлены, а антипараллельны.

   • в) Равны:

     Для того чтобы два вектора были равны, они должны иметь одинаковые длины и направления. Хотя векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\) имеют одинаковые длины, их направления противоположны. Следовательно, векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВА}\) не равны.

Ответ: NaN

Решение №40540: Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\) и определения положения точки \(В\) относительно прямой \(АС\) и отрезка \(АС\), выполним следующие шаги:

1. Определим, что векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\) коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарности можно записать как: \[ \vec{АВ} = k \cdot \vec{ВС} \] где \(k\) — некоторое скалярное число.
2. Рассмотрим возможные значения скаляра \(k\):
   • Если \(k > 0\), векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\) направлены в одну сторону.
   • Если \(k < 0\), векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\) направлены в противоположные стороны.
   • Если \(k = 0\), точка \(В\) совпадает с точкой \(С\).
3. Определим, лежит ли точка \(В\) на прямой \(АС\):
   • Если \(k \neq 0\), точка \(В\) лежит на прямой \(АС\), так как векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\) коллинеарны и не равны нулю.
   • Если \(k = 0\), точка \(В\) совпадает с точкой \(С\), что также подтверждает, что точка \(В\) лежит на прямой \(АС\).
4. Определим, лежит ли точка \(В\) на отрезке \(АС\):
   • Если \(|k| \leq 1\), точка \(В\) лежит на отрезке \(АС\), так как вектор \(\vec{АВ}\) короче или равен вектору \(\vec{АС}\).
   • Если \(|k| > 1\), точка \(В\) лежит за пределами отрезка \(АС\), так как вектор \(\vec{АВ}\) длиннее вектора \(\vec{АС}\).

Ответ: NaN

Решение №40541: Для решения задачи о равенстве векторов \(\vec{АС}\) и \(\vec{ВС}\), а также \(\vec{АС}\) и \(\vec{СВ}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: точка \(С\) - середина отрезка \(АВ\).
2. Определим векторы \(\vec{АС}\) и \(\vec{ВС}\):
   • \(\vec{АС}\) - вектор, направленный от точки \(А\) к точке \(С\).
   • \(\vec{ВС}\) - вектор, направленный от точки \(В\) к точке \(С\).
3. Поскольку точка \(С\) - середина отрезка \(АВ\), то: \[ \vec{АС} = -\vec{ВС} \] Это означает, что векторы \(\vec{АС}\) и \(\vec{ВС}\) равны по длине, но противоположны по направлению.
4. Теперь определим векторы \(\vec{АС}\) и \(\vec{СВ}\):
   • \(\vec{АС}\) - вектор, направленный от точки \(А\) к точке \(С\).
   • \(\vec{СВ}\) - вектор, направленный от точки \(С\) к точке \(В\).
5. Так как точка \(С\) - середина отрезка \(АВ\), то: \[ \vec{СВ} = \vec{АС} \] Это означает, что векторы \(\vec{АС}\) и \(\vec{СВ}\) равны по длине и направлению.

Ответ: NaN

Решение №40542: Для решения задачи о векторах в параллелограмме \(ABCD\) (рис. 95), выполним следующие шаги:

1. а) Векторы, сонаправленные с вектором \(\vec{DC}\):
   • \(\vec{AB}\) — сонаправлен с \(\vec{DC}\), так как векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) параллельны и направлены в одну сторону.
2. б) Векторы, сонаправленные с вектором \(\vec{AO}\):
   • \(\vec{OA}\) — противоположно направлен с \(\vec{AO}\), но не сонаправлен.
   • \(\vec{OB}\) — может быть сонаправлен с \(\vec{AO}\), если точка \(O\) находится на прямой \(AB\) и направлена в сторону \(B\).
3. в) Векторы, противоположно направленные с вектором \(\vec{AD}\):
   • \(\vec{DA}\) — противоположно направлен с \(\vec{AD}\).
4. г) Векторы, противоположно направленные с вектором \(\vec{BD}\):
   • \(\vec{DB}\) — противоположно направлен с \(\vec{BD}\).
5. д) Векторы, равные вектору \(\vec{AV}\):
   • \(\vec{DC}\) — равен \(\vec{AV}\), так как это векторы противоположных сторон параллелограмма.
6. е) Векторы, равные вектору \(\vec{OC}\):
   • \(\vec{OC}\) — равен \(\vec{OC}\), если точка \(O\) является серединой диагонали \(AC\), то есть \(\vec{O}\) — середина диагонали.
7. ж) Векторы, равные вектору \(\vec{VV}\):
   • \(\vec{VV}\) — нулевой вектор, так как вектор, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке, равен нулю.

Ответ: NaN

Решение №40543: Для решения задачи определения вида четырехугольника \(ABCD\), если \(\vec{AB} = \vec{DC}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \vec{AB} = \vec{DC} \]
2. Интерпретируем векторное равенство: \[ \vec{AB} = \vec{DC} \implies \text{векторы } \vec{AB} \text{ и } \vec{DC} \text{ равны по длине и направлению.} \]
3. Выразим векторы через координаты точек: \[ \vec{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}, \quad \vec{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \]
4. Подставим координаты векторов в уравнение: \[ \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \]
5. Перенесем векторы на одну сторону уравнения: \[ \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \implies \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \]
6. Из равенства векторов следует, что диагонали четырехугольника пересекаются и делят друг друга пополам: \[ \text{Следовательно, четырехугольник } ABCD \text{ является параллелограммом.} \]

Ответ: NaN

Решение №40544: Для решения задачи о равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) и проверки утверждений \(\vec{AB} = \vec{BC}\) и \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\).
2. Определим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\).
3. Определим модули векторов \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{BC}|\).
4. Проверим утверждение \(\vec{AB} = \vec{BC}\).
5. Проверим утверждение \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\).

ШАГ 1: Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны по определению.

ШАГ 2: Определим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\).

Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) представляют собой направленные отрезки от вершины \(A\) к вершине \(B\) и от вершины \(B\) к вершине \(C\) соответственно.

ШАГ 3: Определим модули векторов \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{BC}|\).

Модули векторов \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{BC}|\) равны длинам соответствующих сторон треугольника.

ШАГ 4: Проверим утверждение \(\vec{AB} = \vec{BC}\).

Для того чтобы \(\vec{AB} = \vec{BC}\), векторы должны быть равны как по длине, так и по направлению. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) не могут быть равны по направлению, так как они направлены в разные стороны. Следовательно, \(\vec{AB} \neq \vec{BC}\).

ШАГ 5: Проверим утверждение \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны по длине. Следовательно, модули векторов \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{BC}|\) равны. То есть \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\).

Заключение:

Таким образом, утверждение \(\vec{AB} = \vec{BC}\) неверно, а утверждение \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\) верно.

Ответ: NaN

Решение №40545: Для решения задачи о свойствах векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), где \(\vec{a} = \vec{b}\), рассмотрим каждый из предложенных утверждений по отдельности.

1. Утверждение а): Данные векторы имеют соответственно равные координаты.
   • Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны, если их координаты равны. Пусть \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2)\).
   • Если \(\vec{a} = \vec{b}\), то \(a_1 = b_1\) и \(a_2 = b_2\).
   • Таким образом, утверждение верно.
2. Утверждение б): Отрезки, изображающие данные векторы, обязательно совпадают.
   • Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) могут иметь разные начальные точки, но одинаковые длины и направления.
   • Таким образом, отрезки, изображающие эти векторы, не обязательно совпадают.
   • Утверждение неверно.
3. Утверждение в): При откладывании от одной точки отрезки, изображающие данные векторы, обязательно совпадают.
   • Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны и откладываются от одной точки, то отрезки, изображающие эти векторы, будут совпадать.
   • Таким образом, утверждение верно.

Ответ: NaN

Решение №40546: Для решения задачи пошагово, выполним следующие действия:

1. Начертите параллельные прямые \(a\) и \(b\).
2. Отметьте на прямой \(a\) точки \(A\) и \(B\), а на прямой \(b\) - точку \(C\).
3. Отложите от точки \(C\) вектор \(\vec{CD}\), сонаправленный с вектором \(\vec{AB}\).
   • Вектор \(\vec{CD}\) должен быть параллелен вектору \(\vec{AB}\) и иметь ту же длину.
4. Отложите от точки \(C\) вектор \(\vec{CE}\), противоположно направленный с вектором \(\vec{AB}\).
   • Вектор \(\vec{CE}\) должен быть параллелен вектору \(\vec{AB}\), но направлен в противоположную сторону и иметь ту же длину.
5. Отложите от точки \(B\) вектор \(\vec{BF}\), равный вектору \(\vec{AB}\).
   • Вектор \(\vec{BF}\) должен быть параллелен вектору \(\vec{AB}\) и иметь ту же длину.
6. Проверим, сонаправлены ли векторы \(\vec{BF}\) и \(\vec{DE}\), \(\vec{BF}\) и \(\vec{ED}\).
   • Векторы \(\vec{BF}\) и \(\vec{DE}\) будут сонаправлены, если они параллельны и направлены в одну сторону.
   • Векторы \(\vec{BF}\) и \(\vec{ED}\) будут противоположно направлены, если они параллельны, но направлены в противоположные стороны.

Ответ: NaN

Решение №40547: Для решения задачи Начертите ромб \(ABCD\) и выполнения указанных операций с векторами, выполним следующие шаги:

1. Начертите ромб \(ABCD\).
2. Определите координаты точек ромба:
   • Пусть точка \(A\) имеет координаты \((0, 0)\).
   • Точка \(B\) имеет координаты \((a, 0)\).
   • Точка \(C\) имеет координаты \((a, b)\).
   • Точка \(D\) имеет координаты \((0, b)\).
3. Определите векторы:
   • Вектор \(\vec{CD}\) имеет координаты \((-a, 0)\).
   • Вектор \(\vec{AC}\) имеет координаты \((a, b)\).
   • Вектор \(\vec{BD}\) имеет координаты \((-a, b)\).
4. Выполните операции:
   1. Отложите от точки \(B\) вектор, равный вектору \(\vec{CD}\):
      • Новая точка \(E\) будет иметь координаты \((a - a, 0) = (0, 0)\), что совпадает с точкой \(A\).
   2. Отложите от точки \(B\) вектор, равный вектору \(\vec{AC}\):
      • Новая точка \(F\) будет иметь координаты \((a + a, 0 + b) = (2a, b)\).
   3. Выполните параллельный перенос ромба \(ABCD\) на вектор \(\vec{BD}\):
      • Новые координаты точек ромба будут:
        • Точка \(A'\) будет иметь координаты \((0 - a, 0 + b) = (-a, b)\).
        • Точка \(B'\) будет иметь координаты \((a - a, 0 + b) = (0, b)\).
        • Точка \(C'\) будет иметь координаты \((a - a, b + b) = (0, 2b)\).
        • Точка \(D'\) будет иметь координаты \((0 - a, b + b) = (-a, 2b)\).

Ответ: NaN

Решение №40548: Для решения задачи найдем длины векторов \(\vec{AD}\), \(\vec{CE}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AE}\) в прямоугольнике \(ABCD\) с \(AB = 5\), \(BC = 12\) и точкой \(E\), которая является серединой стороны \(BC\).

1. Запишем известные длины сторон прямоугольника: \[ AB = 5, \quad BC = 12 \]
2. Определим длины сторон \(AD\) и \(CD\): Поскольку \(ABCD\) - прямоугольник, то: \[ AD = BC = 12, \quad CD = AB = 5 \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{AD}\): \[ \vec{AD} = AD = 12 \]
4. Определим координаты точки \(E\), которая является серединой стороны \(BC\): \[ BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
5. Найдем длину вектора \(\vec{CE}\): \[ \vec{CE} = EC = 6 \]
6. Найдем длину вектора \(\vec{AC}\): Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\): \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
7. Найдем длину вектора \(\vec{AE}\): Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(AEC\), где \(AE\) - гипотенуза: \[ AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \]

Ответ: NaN

Решение №40549: Для решения задачи найдем длины векторов \(\vec{OC}\), \(\vec{BO}\) и \(\vec{AB}\) в ромбе \(ABCD\), где \(AC = 8\), \(BD = 6\), и \(O\) — точка пересечения диагоналей.

1. Поскольку \(ABCD\) — ромб, его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Следовательно, точка \(O\) является серединой диагоналей \(AC\) и \(BD\).
2. Найдем длины половинок диагоналей: \[ AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
3. Теперь найдем длину вектора \(\vec{OC}\): \[ |\vec{OC}| = OC = 4 \]
4. Найдем длину вектора \(\vec{BO}\): \[ |\vec{BO}| = BO = 3 \]
5. Для нахождения длины вектора \(\vec{AB}\) используем теорему Пифагора в треугольнике \(AOB\): \[ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: NaN

Решение №40550: Для доказательства того, что в параллелограмме \(ABCD\) векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) равны, выполним следующие шаги:

1. Запишем определение параллелограмма:

   Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.

2. Используем свойство параллелограмма:

   В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть:

   \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \]
3. Рассмотрим векторные равенства:

   В параллелограмме \(ABCD\) векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) соединяют противоположные стороны, которые по определению параллелограмма равны и параллельны.

4. Следовательно: \[ \vec{AD} = \vec{BC} \]

Ответ: NaN

Решение №40551: Для решения задачи о равенстве векторов с концами в данных точках, выполним следующие шаги:

1. Определим векторы с концами в точках \(A\), \(B\) и \(O\):
   • \(\overrightarrow{AO}\) — вектор из точки \(A\) в точку \(O\).
   • \(\overrightarrow{OB}\) — вектор из точки \(O\) в точку \(B\).
   • \(\overrightarrow{AB}\) — вектор из точки \(A\) в точку \(B\).
2. Используем свойство векторов, согласно которому сумма векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равна вектору \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} \]
3. Так как точка \(O\) является серединой отрезка \(AB\), векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равны по длине и направлены в противоположные стороны. Это значит, что: \[ \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OB} \]
4. Подставим \(\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OB}\) в уравнение из пункта 2: \[ -\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} \]
5. Упростим выражение: \[ 0 = \overrightarrow{AB} \] Это уравнение показывает, что векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равны по модулю и направлены в противоположные стороны, что подтверждает их равенство.

Ответ: NaN

Решение №40552: Для нахождения координат вектора \(\vec{AB}\) используем формулы: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] ### а) \(А(-1; 4)\), \(В(3; 9)\)

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(-1, 4), \quad B(3, 9) \]
2. Применим формулу для нахождения координат вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]
3. Подставим координаты точек в формулу: \[ \vec{AB} = (3 - (-1), 9 - 4) \]
4. Выполним вычисления: \[ \vec{AB} = (3 + 1, 9 - 4) = (4, 5) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(2, -5), \quad B(-1, -1) \]
2. Применим формулу для нахождения координат вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]
3. Подставим координаты точек в формулу: \[ \vec{AB} = (-1 - 2, -1 - (-5)) \]
4. Выполним вычисления: \[ \vec{AB} = (-1 - 2, -1 + 5) = (-3, 4) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(3, 2), \quad B(3, -2) \]
2. Применим формулу для нахождения координат вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]
3. Подставим координаты точек в формулу: \[ \vec{AB} = (3 - 3, -2 - 2) \]
4. Выполним вычисления: \[ \vec{AB} = (0, -4) \]

• а) \((4, 5)\)
• б) \((-3, 4)\)
• в) \((0, -4)\)

Ответ: а) \(\vec{(4; 5)}\); б) \(\vec{(-3; 4)}\); в) \(\vec{(0; -4)}\).

Решение №40553: Для решения задачи по нахождению координат точки \(A\), зная что \(\vec{OA} = \vec{a}\) и \(\vec{a} = (2, -1)\), выполним следующие шаги:

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) в координатной форме: \[ \vec{a} = (2, -1) \]
2. Поскольку \(\vec{OA} = \vec{a}\), координаты точки \(A\) совпадают с координатами вектора \(\vec{a}\). То есть, координаты точки \(A\) будут равны: \[ A(x, y) = (2, -1) \]

Ответ: NaN

Решение №40554: Для решения задачи о нахождении длины вектора \(\vec{AB}\) в различных случаях, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{AB}(7; 24)\)

1. Вычислим длину вектора \(\vec{AB}\) по формуле длины вектора: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
2. Подставим координаты вектора \(\vec{AB}(7; 24)\) в формулу: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
3. Вычислим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{49 + 576} \]
4. Сложим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{625} \]
5. Извлечем корень: \[ |\vec{AB}| = 25 \]

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\) по формуле: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]
2. Подставим координаты точек \(A(0; -1)\) и \(B(3; -5)\): \[ \vec{AB} = (3 - 0, -5 - (-1)) \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{AB} = (3, -4) \]
4. Вычислим длину вектора \(\vec{AB}\) по формуле длины вектора: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
5. Подставим координаты вектора \(\vec{AB}(3; -4)\) в формулу: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \]
6. Вычислим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} \]
7. Сложим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{25} \]
8. Извлечем корень: \[ |\vec{AB}| = 5 \]

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\) по формуле: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]
2. Подставим координаты точек \(A(2; -4)\) и \(B(2; -1)\): \[ \vec{AB} = (2 - 2, -1 - (-4)) \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{AB} = (0, 3) \]
4. Вычислим длину вектора \(\vec{AB}\) по формуле длины вектора: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
5. Подставим координаты вектора \(\vec{AB}(0; 3)\) в формулу: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 3^2} \]
6. Вычислим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{0 + 9} \]
7. Сложим значения под корнем: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{9} \]
8. Извлечем корень: \[ |\vec{AB}| = 3 \]

• а) 25
• б) 5
• в) 3

Ответ: а) 25; б) 5; в) 3.

Решение №40555: Для решения задачи найти координаты и длину вектора \(\vec{AB}\) в двух случаях, выполним следующие шаги: ### а) \(A(-3; 1)\), \(B(5; -5)\)

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] Подставим координаты точек \(A\) и \(B\): \[ \vec{AB} = (5 - (-3), -5 - 1) = (5 + 3, -5 - 1) = (8, -6) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Подставим координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \] Подставим координаты точек \(A\) и \(B\): \[ \vec{AB} = (0 - 12, -5 - 0) = (-12, -5) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Подставим координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: а) \(\vec{АВ}(8; -6)\), \(|\vec{AB}| = 10\); б) \(\vec{АВ}(-12; -5)\), \(|\vec{AB}| = 13\).

Решение №40556: Для решения задачи о нахождении координат концов векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), отложенных от точки \(D(1; 3)\), выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты точки \(D\) и векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ D(1; 3), \quad \vec{a}(2; -1), \quad \vec{b}(-3; 4) \]
2. Найдем координаты конца вектора \(\vec{a}\), отложенного от точки \(D\). Для этого сложим координаты точки \(D\) с координатами вектора \(\vec{a}\): \[ A(D_x + a_x, D_y + a_y) = (1 + 2, 3 - 1) = (3, 2) \]
3. Найдем координаты конца вектора \(\vec{b}\), отложенного от точки \(D\). Для этого сложим координаты точки \(D\) с координатами вектора \(\vec{b}\): \[ B(D_x + b_x, D_y + b_y) = (1 - 3, 3 + 4) = (-2, 7) \]

Ответ: \((3; 2)\), \((-2; 7)\).

Решение №40557: Для решения задачи найдем координаты начала вектора \(\vec{a}\), зная его конец и координаты точки конца.

1. Запишем координаты конца вектора: \((0; -2)\).
2. Запишем координаты вектора: \(\vec{a}(-3; 7)\).
3. Используем формулу для нахождения координат начала вектора: \[ \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \] где \((x_1, y_1)\) — координаты начала вектора, а \((x_2, y_2)\) — координаты конца вектора.
4. Подставим известные значения: \[ -3 = 0 - x_1 \quad \text{и} \quad 7 = -2 - y_1 \]
5. Решим уравнения для \(x_1\): \[ -3 = 0 - x_1 \implies x_1 = 3 \]
6. Решим уравнения для \(y_1\): \[ 7 = -2 - y_1 \implies y_1 = -2 - 7 \implies y_1 = -9 \]
7. Таким образом, координаты начала вектора: \[ (x_1, y_1) = (3, -9) \]

Ответ: \((3; -9)\).

Решение №40558: Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом с помощью векторов, выполним следующие шаги:

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BC}\).
2. Сравним векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\), а также \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\).
3. Проверим, равны ли соответствующие векторы.

1. Найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\):

   \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (1 - (-2), 2 - (-1)) = (3, 3) \]

2. Найдем вектор \(\overrightarrow{DC}\):

   \[ \overrightarrow{DC} = (C_x - D_x, C_y - D_y) = (2 - (-1), 2 - (-1)) = (3, 3) \]

3. Найдем вектор \(\overrightarrow{AD}\):

   \[ \overrightarrow{AD} = (D_x - A_x, D_y - A_y) = (-1 - (-2), -1 - (-1)) = (1, 0) \]

4. Найдем вектор \(\overrightarrow{BC}\):

   \[ \overrightarrow{BC} = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (2 - 1, 2 - 2) = (1, 0) \]

5. Сравним векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\):

   \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3, 3) \]

6. Сравним векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

   \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (1, 0) \]

Поскольку \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), это означает, что противоположные стороны четырехугольника \(ABCD\) равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: \(А(0; -2)\).

Решение №40559: Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма \(A\), если известны координаты вершин \(B(3; 1)\), \(C(5; 0)\) и \(D(2; -3)\), выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты известных вершин: \[ B(3; 1), \quad C(5; 0), \quad D(2; -3) \]
2. Используем свойство параллелограмма, что диагонали делят его на две равные части. Следовательно, координаты вершины \(A\) можно найти, используя векторное равенство: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \]
3. Выразим координаты векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \] \[ \overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) \]
4. Подставим известные координаты в векторы: \[ \overrightarrow{AC} = (5 - x_A, 0 - y_A) \] \[ \overrightarrow{BD} = (2 - 3, -3 - 1) = (-1, -4) \]
5. Приравняем соответствующие компоненты векторов: \[ 5 - x_A = -1 \] \[ 0 - y_A = -4 \]
6. Решим систему уравнений: \[ x_A = 5 + 1 = 6 \] \[ y_A = 0 + 4 = 4 \]

Ответ: NaN

Решение №40560: Для решения задачи о нахождении длин векторов \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{BD}\) в прямоугольной трапеции \(ABCD\) с \(AD \parallel BC\), \(AB = 4\), \(AD = 7\) и \(\angle D = 45^\circ\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ AD \parallel BC, \quad AB = 4, \quad AD = 7, \quad \angle D = 45^\circ \]
2. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Поскольку \(ABD\) — прямоугольный треугольник с \(\angle D = 45^\circ\), то \(\angle BAD = 45^\circ\) и \(\angle ABD = 90^\circ\).
3. Найдем длину \(BD\). В прямоугольном треугольнике \(ABD\) с катетами \(AB\) и \(AD\) и гипотенузой \(BD\), используем теорему Пифагора: \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} \] Подставим значения: \[ BD = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \]
4. Найдем длину \(BC\). Поскольку \(AD \parallel BC\) и \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, то \(BC = AD = 7\).
5. Найдем длину \(CD\). Поскольку \(AD \parallel BC\) и \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, то \(CD = AB = 4\).

Ответ: 3, \(4\sqrt{2}\), \(\sqrt{65}\).

Решение №40561: Для решения задачи о параллелограмме \(ABCD\) с данными \(AB = 4\), \(BC = 7\) и диагоналями \(AC\) и \(BD\), где \(AC\) больше \(BD\) на 2, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для диагоналей: \[ AC = BD + 2 \]
2. Используем свойства параллелограмма: \[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \] \[ \vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB} \]
3. Выразим длины диагоналей через векторы: \[ |\vec{AC}| = |\vec{AB} + \vec{BC}| \] \[ |\vec{BD}| = |\vec{BC} - \vec{AB}| \]
4. Используем теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей: \[ |\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{BC} \] \[ |\vec{BD}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 - 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{BC} \]
5. Подставим значения \(AB\) и \(BC\): \[ |\vec{AC}|^2 = 4^2 + 7^2 + 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\theta) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\).
6. Подставим известные значения: \[ |\vec{AC}|^2 = 16 + 49 + 56 \cdot \cos(\theta) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 49 + 16 - 56 \cdot \cos(\theta) \]
7. Используем уравнение \(AC = BD + 2\): \[ \sqrt{65 + 56 \cdot \cos(\theta)} = \sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 2 \]
8. Решим систему уравнений: \[ \sqrt{65 + 56 \cdot \cos(\theta)} - \sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} = 2 \]
9. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 65 + 56 \cdot \cos(\theta) = 65 - 56 \cdot \cos(\theta) + 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 4 \]
10. Упростим уравнение: \[ 112 \cdot \cos(\theta) = 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} + 4 \]
11. Решим уравнение для \(\cos(\theta)\): \[ 112 \cdot \cos(\theta) - 4\sqrt{65 - 56 \cdot \cos(\theta)} = 4 \]
12. Найдем \(\cos(\theta)\): \[ \cos(\theta) = -\frac{7}{16} \]
13. Подставим \(\cos(\theta)\) обратно в уравнения для диагоналей: \[ |\vec{AC}|^2 = 65 + 56 \cdot \left(-\frac{7}{16}\right) \] \[ |\vec{BD}|^2 = 65 - 56 \cdot \left(-\frac{7}{16}\right) \]
14. Вычислим длины диагоналей: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{65 - \frac{392}{16}} = \sqrt{65 - 24.5} = \sqrt{40.5} \] \[ |\vec{BD}| = \sqrt{65 + \frac{392}{16}} = \sqrt{65 + 24.5} = \sqrt{89.5} \]

Ответ: 9 и 7.

Решение №40562: Для решения задачи определения вида четырехугольника \(ABCD\) в каждом из случаев (а), (б) и (в), выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{AB} = \vec{DC}\) и \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\)

1. Рассмотрим условие \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Это означает, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) равны по величине и направлению, следовательно, \(AB \parallel DC\) и \(AB = DC\).
2. Учитывая \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\), получаем, что стороны \(AB\) и \(AD\) равны по длине.
3. Таким образом, у нас есть параллелограмм с равными смежными сторонами. Это означает, что четырехугольник \(ABCD\) является ромбом.

1. Рассмотрим условие \(\vec{BC} = \vec{AD}\). Это означает, что векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) равны по величине и направлению, следовательно, \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\).
2. Учитывая \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\), получаем, что диагонали \(AC\) и \(BD\) равны по длине.
3. Таким образом, у нас есть параллелограмм с равными диагоналями. Это означает, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником.

1. Рассмотрим условие \(\vec{CB} \uparrow \uparrow \vec{AD}\). Это означает, что векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{AD}\) коллинеарны, следовательно, \(CB \parallel AD\).
2. Учитывая, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) не коллинеарны, получаем, что \(AB\) и \(CD\) не параллельны.
3. Таким образом, у нас есть четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара - нет. Это означает, что четырехугольник \(ABCD\) является трапецией.

Ответ: а) Ромб; б) прямоугольник; в) тра­пеция.

Решение №40563: Для доказательства того, что если \(\vec{AB} = \vec{CD}\), то середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AD\) и \(BC\) соответственно.
2. Определим векторы, соединяющие точки \(M\) и \(N\) с концами отрезков:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} \vec{AD}\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} \vec{DA}\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} \vec{BC}\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} \vec{CB}\)
3. Выразим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
• \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}\)
• \(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)
4. Подставим \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) в выражения для середин:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BD})\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)
5. Используем условие \(\vec{AB} = \vec{CD}\):
• \(\vec{AD} = \vec{CD} + \vec{BD}\)
• \(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)
6. Подставим \(\vec{CD}\) вместо \(\vec{AB}\) и упростим:
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD})\)
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)
• \(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)
• \(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)
7. Проверим, что точки \(M\) и \(N\) совпадают:
• Сравним векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{NB}\):
• \(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD}) = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC}) = \vec{NB}\)
• Сравним векторы \(\vec{MD}\) и \(\vec{NC}\):
• \(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA}) = \frac{1}{2} (\vec{CB}) = \vec{NC}\)
8. Таким образом, точки \(M\) и \(N\) совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №40564: Для решения задачи Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи, сначала сформулируем обратное утверждение, а затем докажем его. ### Обратное утверждение: Если \(x = 0\), то \(3^{x+1} + 3^x = 4\). ### Доказательство:

1. Запишем утверждение: \[ \text{Если } x = 0, \text{ то } 3^{x+1} + 3^x = 4. \]
2. Подставим \(x = 0\) в выражение \(3^{x+1} + 3^x\): \[ 3^{0+1} + 3^0 \]
3. Упростим показатели степеней: \[ 3^1 + 3^0 \]
4. Вычислим значения степеней: \[ 3 + 1 \]
5. Сложим числа: \[ 4 \]
6. Сравним результат с правой частью уравнения: \[ 4 = 4 \]

Ответ: NaN

Решение №40565: Для решения задачи Длина вектора \(\vec{a}(m - 3; m - 1)\) равна 10. Найдите \(m\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для длины вектора: \[ \sqrt{(m-3)^2 + (m-1)^2} = 10 \]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (m-3)^2 + (m-1)^2 = 100 \]
3. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ (m-3)^2 = m^2 - 6m + 9 \] \[ (m-1)^2 = m^2 - 2m + 1 \] \[ (m^2 - 6m + 9) + (m^2 - 2m + 1) = 100 \] \[ 2m^2 - 8m + 10 = 100 \]
4. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2m^2 - 8m + 10 - 100 = 0 \] \[ 2m^2 - 8m - 90 = 0 \]
5. Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его: \[ m^2 - 4m - 45 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(m^2 - 4m - 45 = 0\). Для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]
7. Найдем корни уравнения: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{4 \pm 14}{2} \] \[ m_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9 \] \[ m_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5 \]

Ответ: 9 или -5.

Решение №40566: Для решения задачи найдем координаты точки \(В\), если известно, что длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, координаты точки \(А\) равны \((4; -2)\), и точка \(В\) лежит на прямой \(y = 2x\).

1. Запишем координаты точки \(А\): \(A(4; -2)\).
2. Пусть координаты точки \(В\) будут \((x; y)\).
3. Из условия \(y = 2x\) следует, что координаты точки \(В\) будут \((x; 2x)\).
4. Найдем вектор \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = (x - 4, 2x - (-2)) = (x - 4, 2x + 2) \]
5. Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, поэтому: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + (2x + 2)^2} = 5 \]
6. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x - 4)^2 + (2x + 2)^2 = 25 \]
7. Раскроем скобки: \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \] \[ (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \]
8. Сложим результаты: \[ x^2 - 8x + 16 + 4x^2 + 8x + 4 = 25 \]
9. Упростим уравнение: \[ 5x^2 + 20 = 25 \]
10. Вычтем 20 из обеих частей уравнения: \[ 5x^2 = 5 \]
11. Разделим обе части уравнения на 5: \[ x^2 = 1 \]
12. Решим уравнение \(x^2 = 1\): \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
13. Подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(y = 2x\): \[ \text{Для } x = 1: \quad y = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ \text{Для } x = -1: \quad y = 2 \cdot (-1) = -2 \]
14. Таким образом, координаты точки \(В\) могут быть \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).

Ответ: \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).

Решение №40567: Для решения задачи найдем \(m\) для вектора \(\vec{a}(m; 15)\), длина которого равна 17. Выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение длины вектора: \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{m^2 + 15^2} = 17 \]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ m^2 + 15^2 = 17^2 \]
3. Вычислим квадраты чисел: \[ m^2 + 225 = 289 \]
4. Вычтем 225 из обеих частей уравнения: \[ m^2 = 289 - 225 \]
5. Выполним вычисление: \[ m^2 = 64 \]
6. Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ m = \pm 8 \]

Ответ: 8 или -8.

Решение №40568: Для решения задачи о нахождении координат и длины вектора, началом которого является конец вектора \(\vec{a}\), а концом - конец вектора \(\vec{b}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (-2, 1) \] \[ \vec{b} = (1, 2) \]
2. Найдем координаты конца вектора \(\vec{a}\) относительно начала координат: \[ \text{Конец вектора } \vec{a} = (-2, 1) \]
3. Найдем координаты конца вектора \(\vec{b}\) относительно начала координат: \[ \text{Конец вектора } \vec{b} = (1, 2) \]
4. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\), где началом является конец вектора \(\vec{a}\), а концом - конец вектора \(\vec{b}\). Для этого найдем разность векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (1 - (-2), 2 - 1) = (1 + 2, 2 - 1) = (3, 1) \]
5. Найдем длину вектора \(\vec{c}\) по формуле длины вектора: \[ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Ответ: \((3; 1)\), \(\sqrt{10}\).