Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Если \(\vec{АВ} = \vec{СD}\), то середины отрезков АD и ВС совпадают. Докажите.
Ответ
NaN
Решение № 40563:
Для доказательства того, что если \(\vec{AB} = \vec{CD}\), то середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают, выполним следующие шаги: <ol> <li>Пусть \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AD\) и \(BC\) соответственно.</li> <li>Определим векторы, соединяющие точки \(M\) и \(N\) с концами отрезков:</li> <ul> <li>\(\vec{MA} = \frac{1}{2} \vec{AD}\)</li> <li>\(\vec{MD} = \frac{1}{2} \vec{DA}\)</li> <li>\(\vec{NB} = \frac{1}{2} \vec{BC}\)</li> <li>\(\vec{NC} = \frac{1}{2} \vec{CB}\)</li> </ul> </li> <li>Выразим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):</li> <ul> <li>\(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}\)</li> <li>\(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)</li> </ul> </li> <li>Подставим \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) в выражения для середин:</li> <ul> <li>\(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BD})\)</li> <li>\(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)</li> <li>\(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)</li> <li>\(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)</li> </ul> </li> <li>Используем условие \(\vec{AB} = \vec{CD}\):</li> <ul> <li>\(\vec{AD} = \vec{CD} + \vec{BD}\)</li> <li>\(\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\)</li> </ul> </li> <li>Подставим \(\vec{CD}\) вместо \(\vec{AB}\) и упростим:</li> <ul> <li>\(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD})\)</li> <li>\(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA})\)</li> <li>\(\vec{NB} = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC})\)</li> <li>\(\vec{NC} = \frac{1}{2} (\vec{CB})\)</li> </ul> </li> <li>Проверим, что точки \(M\) и \(N\) совпадают:</li> <ul> <li>Сравним векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{NB}\):</li> <li>\(\vec{MA} = \frac{1}{2} (\vec{CD} + \vec{BD}) = \frac{1}{2} (\vec{BA} + \vec{AC}) = \vec{NB}\)</li> <li>Сравним векторы \(\vec{MD}\) и \(\vec{NC}\):</li> <li>\(\vec{MD} = \frac{1}{2} (\vec{DA}) = \frac{1}{2} (\vec{CB}) = \vec{NC}\)</li> </ul> </li> <li>Таким образом, точки \(M\) и \(N\) совпадают, что и требовалось доказать.</li> </ol> Ответ: Середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают.