Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Начальные сведения о векторах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5. Найдите координаты точки \(В\), если \(А(4; -2)\), а точка \(В\) лежит на прямой \(у = 2х\).

Ответ

\((1; 2)\) или \((-1; -2)\).

Решение № 40566:

Для решения задачи найдем координаты точки \(В\), если известно, что длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, координаты точки \(А\) равны \((4; -2)\), и точка \(В\) лежит на прямой \(y = 2x\). <ol> <li>Запишем координаты точки \(А\): \(A(4; -2)\).</li> <li>Пусть координаты точки \(В\) будут \((x; y)\).</li> <li>Из условия \(y = 2x\) следует, что координаты точки \(В\) будут \((x; 2x)\).</li> <li>Найдем вектор \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = (x - 4, 2x - (-2)) = (x - 4, 2x + 2) \] </li> <li>Длина вектора \(\vec{АВ}\) равна 5, поэтому: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + (2x + 2)^2} = 5 \] </li> <li>Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x - 4)^2 + (2x + 2)^2 = 25 \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \] \[ (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4 \] </li> <li>Сложим результаты: \[ x^2 - 8x + 16 + 4x^2 + 8x + 4 = 25 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 5x^2 + 20 = 25 \] </li> <li>Вычтем 20 из обеих частей уравнения: \[ 5x^2 = 5 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 5: \[ x^2 = 1 \] </li> <li>Решим уравнение \(x^2 = 1\): \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] </li> <li>Подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(y = 2x\): \[ \text{Для } x = 1: \quad y = 2 \cdot 1 = 2 \] \[ \text{Для } x = -1: \quad y = 2 \cdot (-1) = -2 \] </li> <li>Таким образом, координаты точки \(В\) могут быть \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).</li> </ol> Ответ: координаты точки \(В\) могут быть \((1; 2)\) или \((-1; -2)\).