Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38707: Первый способ. Прямая \(y = y_{0}\) пересекает данную прямую в точке с координатами \((x_{1}; y_{0})\), где \(ах_{1} + by_{0} + с = 0\). Поэтому \(х_{0} - x_{1} = \frac{ах_{0} + by_{0} + c}{a}\). Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{a}|\) и \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}\). Второй способ. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку \(с\) координатами (x_{0} : y_{0}) перпендикулярно данной прямой, и найдите координаты точки пересечения этой прямой и данной прямой.
Ответ: Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{a}|\) и \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\fraq{uv}{\sqrt{$u^2$+$v^2$}}\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38708: Введите прямоугольную систему координат, начало которой - одна из вершин прямоугольника, а оси направлены по его сторонам.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38709: Прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((х_{1} ; y_{1})\), задаётся уравнением \(y_{1}х - х_{1}у = 0\). Поэтому согласно задаче 27.1 расстояние от точки \((x_{2} ; y_{2})\) до этой прямой равно \(\frac{|y_{1}x_{2} - x_{1}y_{2}|}{\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\). Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, проведённой к стороне длиной \(\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38710: Введите прямоугольную систему координат так, чтобы точки \(А\) и \(В\) имели координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\) соответственно. Координаты \((х; у)\) точки \(М\), для которой \(AM^2 = \kappa^2BM^2\), удовлетворяют уравнению \((x + a)^2 + y^2 = \kappa^2((x - a)^2 + y^2), т. e. \( (x + \frac{1 + \kappa^2}{1 - \kappa^2}a)^2 = (\frac{2\kappa a}{1 - \kappa^2})^2\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38711: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38712: Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38713: Пусть \((а_{1}; b_{1})\), \((а_{2}; b_{2})\) и \((а_{3}; b_{3})\) - координаты вершин треугольника. Координаты центра описанной около него окружности задаются системой уравнений \begin{equation*} \begin{cases} (x - a_{1})^{2}v+ (y - b_{1})^{2} = (x - a_{2})^{2} + (y - b_{2})^{2} (x - a_{1})^{2} + (y - b_{1})^{2} = (x - a_{3})^{2} + (y - b_{2})^{2} \end{cases} \end{equation*} После сокращений получаются линейные уравнения, поэтому решение рассматриваемой системы уравнений рационально.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38714: Отметьте на отрезках \(АВ\) и \(CD\) точки \(К\) и \(L\), делящие их в указанных отношениях. Докажите, что точка пересечения прямых \(АК\) и \(CL\) лежит на окружности \(S\). Для этого введите систему координат с началом в центре \(О\) окружности \(S\) и осями \(Ох\) и \(Оу\), направленными по лучам \(ОВ\) и \(OD\). Радиус окружности \(S\) можно считать равным 1. Прямые \(АК\) и \(CL\) задаются уравнениями \(у = \frac{x + 1}{3}\) и \(у = 2х - 1\). Поэтому их общая точка имеет координаты \(х_{0} = \frac{4}{5}\) и \(y_{0} = \frac{3}{5}\). Ясно, что \((x_{0})^2 + (y_{0})^2 = 1\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38715: Пусть \(r\) и \(R\) - радиусы вписанной и описанной окружностей, \(d\) - расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Убедитесь, что \(|R - 2r| = d\). Пусть \((0; 0)\), \((2а; 0)\) и \((0; 2b)\) - координаты вершин треугольника. Тогда \((а; b)\) - координаты центра описанной окружности, \((r; r)\) - координаты центра вписанной окружности, причём \(r = a+ b - R\) (задача 21.4). Следовательно, \(d^2 = (2r - a)^2 + (2r-b)^2 = a^2 + b^2 - 4r(a + b - r) + 4r^2 = (R - 2r)^2\), так как \(a^2 + b^2 = R^2\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38716: Отрезки касательных равны \(АК\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38717: Квадраты отрезков касательных равны \(АМ \cdot AN\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38718: Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы окружностей. Рассмотрите систему координат, в которой центры окружностей имеют координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\). Степени точки с координатами \((x: y)\) относительно данных окружностей равны \((x + a)^2 + y^2 - R^2\) и \((x - a)^2 + y^2 - r^2\) соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем \(x = \frac{R^2 - r^2}{4a}\). Это уравнение задаёт прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38719: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему центры окружностей. Кроме того, эта прямая содержит точку \(К\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38720: Согласно задаче 27.12 искомое множество - прямая. Эта прямая содержит точки \(М\) и \(N\).
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38721: Середина отрезка общей касательной лежит на радикальной оси.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38722: Центры окружностей не лежат на одной прямой, поэтому радикальная ось первой и второй окружностей пересекается с радикальной осью второй и третьей окружностей. Степени точки пересечения относительно всех трёх окружностей равны, поэтому она лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38723: Прямые, содержащие общие хорды окружностей, являются радикальными осями этих окружностей. Эти радикальные оси пересекаются в одной точке, если центры окружностей не лежат на одной прямой. В противном случае они перпендикулярны этой прямой.
Ответ: Утверждение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: а) \(В(-1; 5)\); б) \(А(-3; 1)\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: а) \(Е(12; 1)\); б) \(D(5; -19)\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: а) \(D(6; 9)\); б) \(А(-3; 2)\).
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Пока решения данной задачи,увы,нет...
Ответ: NaN