№38730

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Диаметры \(АВ\) и \(СD\) окружности \(S\) перпендикулярны. Хорда \(ЕА\) пересекает диаметр \(CD\) в точке \(К\), хорда \(ЕС\) пересекает диаметр \(AB\) в точке \(L\). Докажите, что если \(СК : KD = 2:1\), то \(AL : LB = 3: 1\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38714:

Отметьте на отрезках \(АВ\) и \(CD\) точки \(К\) и \(L\), делящие их в указанных отношениях. Докажите, что точка пересечения прямых \(АК\) и \(CL\) лежит на окружности \(S\). Для этого введите систему координат с началом в центре \(О\) окружности \(S\) и осями \(Ох\) и \(Оу\), направленными по лучам \(ОВ\) и \(OD\). Радиус окружности \(S\) можно считать равным 1. Прямые \(АК\) и \(CL\) задаются уравнениями \(у = \frac{x + 1}{3}\) и \(у = 2х - 1\). Поэтому их общая точка имеет координаты \(х_{0} = \frac{4}{5}\) и \(y_{0} = \frac{3}{5}\). Ясно, что \((x_{0})^2 + (y_{0})^2 = 1\).