№38727

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Даны точки \(A_{1}, ..., А_{n}\), числа \(\kappa_{1}, ..., \kappa_{n}\), сумма которых не равна нулю, и число \(с\). Докажите, что множество, для любой точки \(X\) которого выполняется равенство \(\kappa_{1}(A_{1}X)^2 + ... + \kappa_{n}(A_{n}X)^2 = c\), является окружностью или пустым множеством.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38711:

Уравнение, которому удовлетворяют координаты \((х; у)\) точки X, имеет вид \(\kappa(х^2 + y^2) + px + qy + r = 0\), где \(\kappa = \kappa_{1} + ... + \kappa_{n}\).