№38733

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Две окружности пересекаются в точках \(М\) и \(N\), точка \(А\) лежит на прямой \(MN\) вне отрезка \(МN\). Докажите, что отрезки касательных, проведённые из точки \(А\) к окружностям, равны. Комментарий. Квадрат отрезка касательной, проведённой из точки \(X\) к окружности радиуса \(R\) с центром \(O\), равен \(ОХ^2 - R^2\). Из точки внутри окружности нельзя провести к ней касательную, но величину \(OX^2 - R^2\) рассмотреть можно; для точки внутри окружности эта величина отрицательная. Для каждой точки плоскости величину \(OX^2 - R^2\) называют степенью этой точки относительно окружности.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38717:

Квадраты отрезков касательных равны \(АМ \cdot AN\).