№38729

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра описанной около него окружности также рациональны.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38713:

Пусть \((а_{1}; b_{1})\), \((а_{2}; b_{2})\) и \((а_{3}; b_{3})\) - координаты вершин треугольника. Координаты центра описанной около него окружности задаются системой уравнений \begin{equation*} \begin{cases} (x - a_{1})^{2}v+ (y - b_{1})^{2} = (x - a_{2})^{2} + (y - b_{2})^{2} (x - a_{1})^{2} + (y - b_{1})^{2} = (x - a_{3})^{2} + (y - b_{2})^{2} \end{cases} \end{equation*} После сокращений получаются линейные уравнения, поэтому решение рассматриваемой системы уравнений рационально.