№38725

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках \((0 ; 0)\), \((х_{1} ; y_{1})\) и (х_{2} ; y_{2}) равна \(\frac{1}{2}|x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38709:

Прямая, проходящая через точки \((0; 0)\) и \((х_{1} ; y_{1})\), задаётся уравнением \(y_{1}х - х_{1}у = 0\). Поэтому согласно задаче 27.1 расстояние от точки \((x_{2} ; y_{2})\) до этой прямой равно \(\frac{|y_{1}x_{2} - x_{1}y_{2}|}{\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\). Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, проведённой к стороне длиной \(\sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}}\).