№38726

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Даны точки \(А\) и \(В\) и положительное число \(\kappa \neq 1\). Докажите, что множество, для любой точки \(М\) которого \(АМ = \kappaBM\), представляет собой окружность (окружность Аполлония).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38710:

Введите прямоугольную систему координат так, чтобы точки \(А\) и \(В\) имели координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\) соответственно. Координаты \((х; у)\) точки \(М\), для которой \(AM^2 = \kappa^2BM^2\), удовлетворяют уравнению \((x + a)^2 + y^2 = \kappa^2((x - a)^2 + y^2), т. e. \( (x + \frac{1 + \kappa^2}{1 - \kappa^2}a)^2 = (\frac{2\kappa a}{1 - \kappa^2})^2\).