№38731

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В треугольнике \(АВС\) угол \(С\) прямой. Докажите, что при гомотетии с центром \(С\) и коэффициентом 2 окружность, вписанная в треугольник, переходит в окружность, касающуюся окружности, описанной около треугольника.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38715:

Пусть \(r\) и \(R\) - радиусы вписанной и описанной окружностей, \(d\) - расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Убедитесь, что \(|R - 2r| = d\). Пусть \((0; 0)\), \((2а; 0)\) и \((0; 2b)\) - координаты вершин треугольника. Тогда \((а; b)\) - координаты центра описанной окружности, \((r; r)\) - координаты центра вписанной окружности, причём \(r = a+ b - R\) (задача 21.4). Следовательно, \(d^2 = (2r - a)^2 + (2r-b)^2 = a^2 + b^2 - 4r(a + b - r) + 4r^2 = (R - 2r)^2\), так как \(a^2 + b^2 = R^2\).