№38723

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Найдите расстояние от точки с координатами \((х_{0} ; y_{0})\) до прямой, заданной уравнением \(ах + by + с = 0\).

Ответ

Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{a}|\) и \(\fraq{a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\fraq{uv}{\sqrt{$u^2$+$v^2$}}\).

Решение № 38707:

Первый способ. Прямая \(y = y_{0}\) пересекает данную прямую в точке с координатами \((x_{1}; y_{0})\), где \(ах_{1} + by_{0} + с = 0\). Поэтому \(х_{0} - x_{1} = \frac{ах_{0} + by_{0} + c}{a}\). Искомое расстояние равно высоте, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{a}|\) и \(\frac{ax_{0} + by_{0} + c}{b}|\). Для треугольника с катетами \(u\) и \(v\) эта высота равна \(\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}\). Второй способ. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку \(с\) координатами (x_{0} : y_{0}) перпендикулярно данной прямой, и найдите координаты точки пересечения этой прямой и данной прямой.