№38734

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Центры двух окружностей не совпадают. Докажите, что множество всех точек, для которых степень относительно одной окружности равна степени относительно другой окружности, - это прямая, перпендикулярная прямой, соединяющей центры окружностей.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38718:

Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы окружностей. Рассмотрите систему координат, в которой центры окружностей имеют координаты \((-а; 0)\) и \((а; 0)\). Степени точки с координатами \((x: y)\) относительно данных окружностей равны \((x + a)^2 + y^2 - R^2\) и \((x - a)^2 + y^2 - r^2\) соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем \(x = \frac{R^2 - r^2}{4a}\). Это уравнение задаёт прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.