Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16706: Воспользуйтесь равенством $(a_n\cdot(c^{n-1})+a_{n-1}c^{n-2}+\ldots+a_1)c+a_0=0$
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16707: Воспользуйтесь равенством $(a_n\cdot(p^{n-1})+a_{n-1}p^{n-2}q+\ldots+a_1q^{n-1})p+a_0q^n=0$ и $a_np^n+q(a_n\cdot(p^{n-1})+\ldots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1}=0$ и тем, что числа \( q\) и \( p\) не имеют общих делителей
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16708: Подставьте в данные многочлены \(x=-3\) и \(х=-1\)
Ответ: m=3, n=1
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16709: Если число \(х\) четное, то значение многочлена при делении на \(2\) дает такой же остаток, как число \(a_n=P(0)\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16710: Если число \(х\) нечетное, то значение многочлена при делении на \(2\) дает такой же остаток, как число \(a_0+a_1+\ldots+a_{n-1}+a_n=P(1)\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16711: Положите \(х=10\). Тогда \((10+b)(10+c=1\), поэтому \(b=c=-9\) или \(b=c=-11\). В первом случае \((х-а)(х-10)+1=(х-11)^2\), поэтому \(а=12\)
Ответ: 8 или 12
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, общие свойства многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16712: Если \(x_0^4+ax_0^2+1=0\) и \(x_0^3+ax_0+1=0\), то $x_0^4+ax_0^2+1-x_0(x_0^3+ax_0+1)=0$, т.е. \(х_0=1\). В таком случае \(1+а+1=0\), т.е. \(а=-2\). При \(а=-2\) данные многочлены действительно имеют общий корень \(х_0=1\)
Ответ: a=-2
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16713: Рассмотрите многочлен \(Р(х)=\frac{x(x+1)}{2}\)
Ответ: Нет, не обязательно
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16714: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\)
Ответ: 1
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16715: См. указание к задаче \(5.9\)
Ответ: 2^n
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16716: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\), а разность между суммой коэффициентов многочлена \(Р(х)\) при четных степенях и суммой при нечетных степенях равна \(Р(-1)\). Поэтому сумма коэффициентов при четных степенях равна $\frac{Р(1)+Р(-1)}{2}=1$, а сумма коэффициентов при нечетных степенях равна $\frac{Р(1)-Р(-1)}{2}=0$
Ответ: а) 1; б) 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16717: Обозначим \(Р(x,y)=(1+x-y)^3\). \begin{itemize} \item[\sffamily а)] Сумма всех коэффициентов этого много равна \(Р(1,1)\). \item[\sffamily б)] Сумма коэффициентов при тех одночленах, которые не содержат \( y\), равна \(\Р(1,0)\). \item[\sffamily в)] Сумма коэффициентов при тех одночленах, которые содержат \(х\), равна \(Р(1,1)-Р(0,1)\). \end{itemize}
Ответ: а) 1; б) 8; в) 1
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16718: Данное произведение \(Р(х)\) имеет вид \(Q(x)Q(-x)\), поэтому \(Р(-х)=Р(х)\) и \(2Р(х)=Р(х)+Р(-х)\). В правой части все одночлены нечетной степени сокращаются
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16719: Подставив значение \(х=0\), получим, что \( d\) делится на \(5\). Подставив значения \(х=1\) и \(х=-1\),получим, что \(a+b+c\) и \(a-b+c\) деляться на \(5\), поэтому \(b\) и \(а+с\) делятся на \(5\). Подставив значение \(х=2\), получим, что \(4а+с\) делится на \(5\). Поэтому \(3а=(4а+с)-(а+с)\) делится на \(5\), а значит,\( а\) и \(с\) делятся на \(5\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16720: Число \(18\) нельзя представить в виде суммы чисел \(5\) и \(7\), поэтому коэффициент при \(x^{18}\) равен \(0\). Число \(17\) представляется в виде суммы чисел \(5\) и \(7\) следующим образом: \(17=7+5+5\). С точностью о перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из \(20\) множителей \(1+х^5+х^7\) мы должны выбрать \(х^7\), а в двух из \(19\) оставшихся выбрать \(х^5\). Поэтому коэффициент при \(х^17\) равен \(\Frac{20\cdot19\cdot18}{2}=3420\)
Ответ: 3420 и 0
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16721: Пусть данный \(Р(х)\) - данный многочлен и \(Q(x)=(P(x)^n). Тогда \(Р(0)=Р(1)=2\) и \(Q(0)=Q(1)=2^n\). Поэтому \(Q(1)-Q(0)=0\). Но число (Q(1)-Q(0)\) равно сумме всех коэффициентов многочлена \( q\), кроме свободного члена
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, Делимость многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16722: Остаток от деления на многочлен \(х-с\) - это нулевой многочлен или многочлен степени \(0\), т.е. остаток - это некоторое число \(r\). Пусть \(Р(x)=Q(x)(x-c)+r\). При \(х=с\) получаем \(r=P(с)\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, Делимость многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16723: Воспользуйтесь задачей \(5.17\). Из равенства $P(x)=Q(x)(x-c)+r$ следует, что если \(с\) - корень многочлена \(Р(х)\), то \(r=P(с)=0\). Наоборот, если \(r=0\), то \(Р(с)=r=0\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, Делимость многочленов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16724: См. указание к задаче \(4.42\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16725: Запишите данное равенство в виде \((y+2+x)(y+2-x)=-4\) и воспользуйтесь тем, что \((y+2+x)\) и \(y+2-x\) либо оба четны, либо оба нечетны
Ответ: (2, -2), (-2, -2)
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16726: Запишите данное равенство в виде \((x+1+y)(x+1-y)=7\)
Ответ: (3, ±3), (-5, ±3)
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16727: Умножьте данное выражение в виде на \(3-1\) и воспользуйтесь тем, что \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16728: Воспользуйтесь тем, что \(2^{20}-1=(2^{10}-1)(2^{10}+1)\) и \(2^{10}+1=1025\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16729: Из формулы квадрата разности следует, что \(a^2+-ab+b^2=(a-b)^2+11ab\). Поэтому число \((a-b)^2\) делится на \(11\). Число \(11\) простое, поэтому число \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) тоже делится на \(11\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16730: Из равенств $(n-3)(n+3)=n^2-9=2^m-2$ следует, что числа \(n+3\) и \(n-3\) четные. Поэтому число \(2^m-2\) делится на \(4\). Но при \(m>1\) это число не делится на \(4\)
Ответ: m=1, n=3
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16731: Воспользуйтесь тем, что $2=(x^4+1)-(x^4-1)=(x^4+1)-(x+1)(x-1)(x^2-1)$
Ответ: c=1/2 и P(x)=-1/2(x³ -x² -x+1)
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Разность квадратов,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16732: Произведение чисел \(n-1, n, n+1\) и \(n+2\) равно $(n^2+n)(n^2+n-2)=(N+1)(N-1)$, где \(N=n^2+n-1\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Куб суммы и куб разности,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16733: Сначала докажите, что \(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n(n^2+2)\)). Затем воспользуйтесь задачей \(4.33\)
Ответ: нет ответа
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Куб суммы и куб разности,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16734: нет указаний
Ответ: 9b(a² -ab+b²)
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Куб суммы и куб разности,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019
Решение №16735: Сначала воспользовавшись задачей \(6.14\), докажите, что $(x^3+y^3)^3-(x^3-2y^3)^3=9y^3(x^6-x^3y^3+y^6). Затем докажите, что $x^3-(x\frac{x^3-2y^3}{x^3+y^3})^3=\frac{9x^3y^3(x^6-x^3y^3+y^6)}{(x^3+y^3)^3}= y^3-(y\frac{y^3-2x^3}{x^3+y^3})^3
Ответ: нет ответа