№16722

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Свойства многочленов, коэффициенты многочленов,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019

Условие

Найдите коэффициенты многочлена \((1+x^5+x^7)^{20}\) при \(x^{17}\) и \(x^{18}\).

Ответ

3420 и 0

Решение № 16720:

Число \(18\) нельзя представить в виде суммы чисел \(5\) и \(7\), поэтому коэффициент при \(x^{18}\) равен \(0\). Число \(17\) представляется в виде суммы чисел \(5\) и \(7\) следующим образом: \(17=7+5+5\). С точностью о перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из \(20\) множителей \(1+х^5+х^7\) мы должны выбрать \(х^7\), а в двух из \(19\) оставшихся выбрать \(х^5\). Поэтому коэффициент при \(х^17\) равен \(\Frac{20\cdot19\cdot18}{2}=3420\)