Решение №16713: Рассмотрите многочлен \(Р(х)=\frac{x(x+1)}{2}\)

Ответ: Нет, не обязательно

Решение №16714: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\)

Ответ: 1

Решение №16715: См. указание к задаче \(5.9\)

Ответ: 2^n

Решение №16716: Сумма всех коэффициентов многочлена \(Р(х)\) равна \(Р(1)\), а разность между суммой коэффициентов многочлена \(Р(х)\) при четных степенях и суммой при нечетных степенях равна \(Р(-1)\). Поэтому сумма коэффициентов при четных степенях равна $\frac{Р(1)+Р(-1)}{2}=1$, а сумма коэффициентов при нечетных степенях равна $\frac{Р(1)-Р(-1)}{2}=0$

Ответ: а) 1; б) 0

Решение №16717: Обозначим \(Р(x,y)=(1+x-y)^3\). \begin{itemize} \item[\sffamily а)] Сумма всех коэффициентов этого много равна \(Р(1,1)\). \item[\sffamily б)] Сумма коэффициентов при тех одночленах, которые не содержат \( y\), равна \(\Р(1,0)\). \item[\sffamily в)] Сумма коэффициентов при тех одночленах, которые содержат \(х\), равна \(Р(1,1)-Р(0,1)\). \end{itemize}

Ответ: а) 1; б) 8; в) 1

Решение №16718: Данное произведение \(Р(х)\) имеет вид \(Q(x)Q(-x)\), поэтому \(Р(-х)=Р(х)\) и \(2Р(х)=Р(х)+Р(-х)\). В правой части все одночлены нечетной степени сокращаются

Ответ: нет ответа

Решение №16719: Подставив значение \(х=0\), получим, что \( d\) делится на \(5\). Подставив значения \(х=1\) и \(х=-1\),получим, что \(a+b+c\) и \(a-b+c\) деляться на \(5\), поэтому \(b\) и \(а+с\) делятся на \(5\). Подставив значение \(х=2\), получим, что \(4а+с\) делится на \(5\). Поэтому \(3а=(4а+с)-(а+с)\) делится на \(5\), а значит,\( а\) и \(с\) делятся на \(5\)

Ответ: нет ответа

Решение №16720: Число \(18\) нельзя представить в виде суммы чисел \(5\) и \(7\), поэтому коэффициент при \(x^{18}\) равен \(0\). Число \(17\) представляется в виде суммы чисел \(5\) и \(7\) следующим образом: \(17=7+5+5\). С точностью о перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из \(20\) множителей \(1+х^5+х^7\) мы должны выбрать \(х^7\), а в двух из \(19\) оставшихся выбрать \(х^5\). Поэтому коэффициент при \(х^17\) равен \(\Frac{20\cdot19\cdot18}{2}=3420\)

Ответ: 3420 и 0

Решение №16721: Пусть данный \(Р(х)\) - данный многочлен и \(Q(x)=(P(x)^n). Тогда \(Р(0)=Р(1)=2\) и \(Q(0)=Q(1)=2^n\). Поэтому \(Q(1)-Q(0)=0\). Но число (Q(1)-Q(0)\) равно сумме всех коэффициентов многочлена \( q\), кроме свободного члена

Ответ: нет ответа