Решение №7358: Рассмотрим функцию \(f\left ( x \right )=-x^{2}+3x+4\). Абцисса вершины параболы \(x_{0}=\frac{3}{2}> 1\), следовательно, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая, начиная с n=2. При этом \(x_{1}=x_{2}=6\), поэтому можно утверждать, что последовательность убывает на множетве N, но нестрого.

Ответ: NaN

Решение №7363: Последовательность с общим членом \(x_{n}=1+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}\) убывает, так как убывает функция \(f\left ( x \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x} \)

Ответ: NaN

Решение №7370: Докажем, что \(\lim n \to \frac{\sin n}{n}=0\). Заметим, что \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |\leqslant \frac{1}{n}\). Тогда, взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |< \varepsilon выполнено для всех n> N_{\varepsilon } \)

Ответ: NaN

Решение №7377: а) \(x_{n}=-n б) x_{n}=0\). Предел не может быть равен 1. Множеством взможных пределов последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \} \)является луч \(\left ( -\propto ;0 \right ]\). 1) Допустим, что предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равен 1, тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k 1-\varepsilon < x_{n}< \varepsilon +1\). В силу произвольного выбор \(\varepsilon\) возьмем \(\varepsilon _{1}=1-\varepsilon > 0\) и тогда, начиная с некоторого нормера, \(x_{n}> \varepsilon _{1}\). Получили противоречие, значит,наше предположение было неверным. 2) Действительно, любое неположительное число a является пределом последовательности, каждый член которой равен a, удовлетворяющей условию задачи. Кроме того, рассуждение, повторяющее пункт 1 с заменой 1 на произвольное положительное число, показывает, что никакое положительное число не может быть пределом последовательности, удовлетворяющей условию задачи.

Ответ: NaN

Решение №7380: Пусть \(\left \{ a_{n} \right \}\)- последовательность вида 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; ... . Тогда последовательность \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+1} \right \}\) состоит из одних нулей и сходится, а последовательноть \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+3} \right \}\) будет иметь вид 0; 0; 9; 0; 0; 36; ... ,т.е. расходится.

Ответ: Необязательно сходится

Решение №7394: \( x_{n}=\sqrt{n^{2}+n}; y_{n}=-n\)

Ответ: NaN

Решение №7396: \( x_{n}=\left ( -1 \right )^{n}; y_{n}=n\)

Ответ: NaN

Решение №7405: \( x_{n}=\frac{1}{n+1}, y_{n}=\frac{1}{n} \)

Ответ: NaN

Решение №7418: Пусть \(\sqrt{x_{n}}=\sqrt{a}+\alpha _{n}\). Заметим, что \(\alpha =\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}=\frac{x_{n}-a}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\), и получим \)\left | \alpha_{n} \right |< \frac{\left | x_{n} -a\right |}{\sqrt{a}}\). Пусть дано произвольное число \(\varepsilon > 0\). Так как последовательность \(\left \{ x_{n}-a \right \}\) бесконечно малая, то, начиная с некоторого номера n=k, будет выполняться неравенство \(\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon \sqrt{a}\). Следовательно, при \(n\geqslant k\) будет выполняться неравенство \(\left | \alpha _{n} \right |< \varepsilon\) , а значит \lim_{ n \to \propto} \alpha _{n}=0. Тогда \lim_{n \to \propto} \sqrt{x_{n}}=\sqrt{a} \)

Ответ: NaN

Решение №7422: 1; 0

Ответ: NaN

Решение №7428: \( \lim_{n \to \propto}\frac{\left ( -1 \right )^{n}6^{n}-5^{n+1}}{5^{n}-\left ( -1 \right )^{n+1}6^{n+1}}=\lim_{n \to \propto}\frac{1-5\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}}{\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}+6}=\frac{1}{6} \)

Ответ: \frac{1}{6}

Решение №7431: Умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженные выражения, получим \(\lim_{n \to \propto} x_{n}=\lim_{n \to \propto}\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\lim_{n \to \propto}\frac{\left ( n^{2}+1-n^{2} \right )\left ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right )}{\left ( \sqrt{n^{2}+1}+n \right )\left ( n+1-n \right )}\lim_{n \to \propto}\frac{n\left ( \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{n}} \right )}{n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1 \right )}=0\)

Ответ: 0

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: -1

Решение №7443: Так как \(\forall x\sin ^{2}x=\sin ^{2}\left ( x-\pi k \right ), то \lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\left ( \pi \sqrt{n^{2}+n}-\pi n \right )=\lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\frac{\pi \left ( n^{2}+n-n^{2} \right )}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\lim_{n \to \propto}\sin ^{2}\frac{\pi n}{n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 \right )}=1 \)

Ответ: NaN

Решение №7444: \( \forall n\in N 0< \frac{10^{n}+n!}{2^{n}+\left ( n+1 \right )!}< \frac{10^{n}+n!}{\left ( n+1 \right )!}=\frac{10^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n+1}\), а так как \(\lim_{n \to \propto}\left ( \frac{10^{n}}{\left ( n+1 \right )!}+\frac{1}{n+1} \right )=0, то \lim_{n \to \propto}\frac{10^{n}+n!}{2^{n}+\left ( n+1 \right )!}=0 \)

Ответ: 0

Решение №7445: \( \forall n\in N n^{2}-n< n^{3}\),следовательно \(0< \frac{\left ( 3 \right )^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}< \frac{3^{n^{3}}}{\left ( n^{3} \right )!}=\frac{3^{t}}{t!}\) .А так как \(\lim_{n \to \propto } \frac{3^{t}}{t!}=0 (если n\rightarrow \propto , то t=n^{3}\rightarrow \propto )\),то и \( \lim_{n \to \propto}\frac{3^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}=0\). Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) есть произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную \(\left ( -1 \right )^{n}. \)

Ответ: 0

Решение №7447: \(x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n+1}}\leqslant \frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}}= \frac{n\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=y_{n}\). Но \(\forall n\in N 1\leqslant x_{n}\leqslant y_{n}\), а так как \(y_{n}\rightarrow 1 n\rightarrow \propto\) ,то \(\lim x_{n}=1. \)

Ответ: 1

Решение №7454: \( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{2n+2}{2n+3}< 1. \)

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 4

Решение №7460: Предположим, что существует предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равный t, и найдем его. По условию \(t=-\sqrt{1-t}\). Так как t< 0, то \(t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\). Докажем существование. Если \(x_{1}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и ограничена сверху. Можно проверить, что \(x_{1}< x_{2}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\). По индукции докажем, что \(x_{k}< x_{k+1}< t, где x_{k+1}=-\sqrt{1-x_{k}}\). Выясним, верно ли, что \(x_{k}< -\sqrt{1-x_{k}}< t. 1) \sqrt{1-x_{k}}< -x_{k}\Leftarrow 1-x_{k}< x_{k}^{2}\Leftrightarrow x_{k}^{2}+x_{k}-1> 0\Leftarrow x_{k}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}. 2) -\sqrt{1-x}< t\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{k}}> \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow 1-x_{k}> \frac{6+2\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x_{k}< \frac{-\sqrt{5}-1}{2}. Если x_{1}> \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\), то \(x_{2}=-\sqrt{1-x_{1}}> t\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{1}}< -t\Leftrightarrow 0\leqslant 1-x_{1}< t^{2}\Leftarrow x_{1}> 1-t^{2}=t\). Далее по индукции доказываем, что \(t< x_{k+1}< x_{k}. \)

Ответ: NaN

Решение №7461: Все члены последовательности положительны, коль скоро первый её член положителен. Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{x_{n}}-x_{n} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{a-x_{n}^{2}}{x_{n}} \right )\). Знак этой разности определяется соотношением между \(x_{n}\) и \(\sqrt{a}\). Применив неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел \(\frac{a}{x_{n}} и x_{n}\), получим \(x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}\geqslant \sqrt{x_{n}*\frac{a}{x_{n}}}=\sqrt{a}\). Итак, все члены последовательности, начиная со второго, больше \(\sqrt{a}\), а потому последовательность убывает, начиная с \(x_{2}\). Таким образом, последовательность убывает и ограничена снизу (например, числом \(\sqrt{a}\) или просто нулём), а значит, имеет предел. Обозначим\( \lim_{n \to \propto }x_{n}=\lim n_{\to \propto} x_{n+1}=b\). Совершив предельный переход в равенстве, получим, что\(b=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )\). А следовательно, \(b^{2}=a b=\sqrt{a}\)( так как \(\forall n\in N x_{n}> 0)\)

Ответ: NaN

Решение №7465: \( \lim_{n \to \propto}\left ( 1+\frac{1}{2n} \right )^{n}=\lim_{n \to \propto}\left ( \left ( 1+\frac{1}{2n} \right )^{2n} \right )^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e} \)

Ответ: \sqrt{e}

Решение №7466: Возьмём произвольную окрестность точки а. Пусть члены одной подпоследовательности принадлежат окрестности \(V_{\varepsilon }\left ( a \right )\), начиная с члена \(x_{n_{1}}\), а другой — начиная с \(x_{n_{2}}\). Тогда члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) будут принадлежать \(V_{\varepsilon }\left ( a \right )\), начиная с номера \(n_{0}=max \left \{ n_{1}; n_{2} \right \}\) . Далее повторяем рассуждения, опирающиеся на геометрический смысл определения предела. \)

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 5

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 12

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 3