№7377

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Приведите пример последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\), удовлетворяющей условию \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k x_{n}< \varepsilon\) и такой что: а) она не имеет предела; б) она имеет предел. Может ли этот предел быть равным 1? Найдите множество возможных пределов последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}. \)

Ответ

NaN

Решение № 7377:

а) \(x_{n}=-n б) x_{n}=0\). Предел не может быть равен 1. Множеством взможных пределов последовательноти \(\left \{ x_{n} \right \} \)является луч \(\left ( -\propto ;0 \right ]\). 1) Допустим, что предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равен 1, тогда \(\forall \varepsilon > 0 \exists k\in N: \forall n\geqslant k 1-\varepsilon < x_{n}< \varepsilon +1\). В силу произвольного выбор \(\varepsilon\) возьмем \(\varepsilon _{1}=1-\varepsilon > 0\) и тогда, начиная с некоторого нормера, \(x_{n}> \varepsilon _{1}\). Получили противоречие, значит,наше предположение было неверным. 2) Действительно, любое неположительное число a является пределом последовательности, каждый член которой равен a, удовлетворяющей условию задачи. Кроме того, рассуждение, повторяющее пункт 1 с заменой 1 на произвольное положительное число, показывает, что никакое положительное число не может быть пределом последовательности, удовлетворяющей условию задачи.