№7460

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Выясните, сходится ли последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) и найдите предел сходящейся последовательности: \(0\leqslant x_{1}\leqslant 1, x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{2}, где n\in N \)

Ответ

NaN

Решение № 7460:

Предположим, что существует предел последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) равный t, и найдем его. По условию \(t=-\sqrt{1-t}\). Так как t< 0, то \(t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\). Докажем существование. Если \(x_{1}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\), то последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) возрастает и ограничена сверху. Можно проверить, что \(x_{1}< x_{2}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\). По индукции докажем, что \(x_{k}< x_{k+1}< t, где x_{k+1}=-\sqrt{1-x_{k}}\). Выясним, верно ли, что \(x_{k}< -\sqrt{1-x_{k}}< t. 1) \sqrt{1-x_{k}}< -x_{k}\Leftarrow 1-x_{k}< x_{k}^{2}\Leftrightarrow x_{k}^{2}+x_{k}-1> 0\Leftarrow x_{k}< \frac{-1-\sqrt{5}}{2}. 2) -\sqrt{1-x}< t\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{k}}> \frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow 1-x_{k}> \frac{6+2\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x_{k}< \frac{-\sqrt{5}-1}{2}. Если x_{1}> \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\), то \(x_{2}=-\sqrt{1-x_{1}}> t\Leftrightarrow \sqrt{1-x_{1}}< -t\Leftrightarrow 0\leqslant 1-x_{1}< t^{2}\Leftarrow x_{1}> 1-t^{2}=t\). Далее по индукции доказываем, что \(t< x_{k+1}< x_{k}. \)