№7380

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Пусть последовательность \(\left \{ a_{n} \right \}\) положительных чисел такова, что последовательность \(\left \{ n^{2}*a_{n}*a_{n+1} \right \}\) сходитcя. Какие из последовательностей обязательно сходятся (если необязательно сходятся, приведите примеры, если обязательно сходятся, приведите доказательство) \(\left \{ n^{2}*a_{n}*a_{n+3} \right \}\)

Ответ

Необязательно сходится

Решение № 7380:

Пусть \(\left \{ a_{n} \right \}\)- последовательность вида 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; ... . Тогда последовательность \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+1} \right \}\) состоит из одних нулей и сходится, а последовательноть \(\left \{ n^{2}a_{n}a_{n+3} \right \}\) будет иметь вид 0; 0; 9; 0; 0; 36; ... ,т.е. расходится.