№7370

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Определение предела последовательности,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите (угадайте), к какому числу сходится поледовательность, и докажите, что это число действительно предел последовательности по определению: \(x_{n}=\frac{\sin n}{n} \)

Ответ

NaN

Решение № 7370:

Докажем, что \(\lim n \to \frac{\sin n}{n}=0\). Заметим, что \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |\leqslant \frac{1}{n}\). Тогда, взяв \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ]+1\), получим, что неравенство \(\left | \frac{\sin n}{n} \right |< \varepsilon выполнено для всех n> N_{\varepsilon } \)