№7445

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Свойства бесконечно малых последовательностей, Бесконечно большие последовательности, Определение предела последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Найдите \(\lim_{n \to \propto} x_{n}\), воспользовавшись свойствами пределов, связанными с неравенствами и арифметическими действиями с пределами. \(x_{n}=\frac{\left ( -3 \right )^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}\)

Ответ

0

Решение № 7445:

\( \forall n\in N n^{2}-n< n^{3}\),следовательно \(0< \frac{\left ( 3 \right )^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}< \frac{3^{n^{3}}}{\left ( n^{3} \right )!}=\frac{3^{t}}{t!}\) .А так как \(\lim_{n \to \propto } \frac{3^{t}}{t!}=0 (если n\rightarrow \propto , то t=n^{3}\rightarrow \propto )\),то и \( \lim_{n \to \propto}\frac{3^{n^{2}-n}}{\left ( n^{3} \right )!}=0\). Значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) есть произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную \(\left ( -1 \right )^{n}. \)