№7466

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Пратусевич М.Я.,Столбов К.М., Головин А.Н., Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебн. Для общеобразовательных учреждений: профильный уровень.М.Просвещение, 2009. 415 с.: ил. ISBN 978-5-09-016552-5

Условие

Подпоследовательности \(\left \{ x_{2k} \right \} и \left \{ x_{2k-1} \right \}\) последовательности \( \left \{ x_{n} \right \}\) имеют один и тот же преде. Докажите, что и сама последовательность \( \left \{ x_{n} \right \} \)сходится к тому же пределу.

Ответ

NaN

Решение № 7466:

Возьмём произвольную окрестность точки а. Пусть члены одной подпоследовательности принадлежат окрестности \(V_{\varepsilon }\left ( a \right )\), начиная с члена \(x_{n_{1}}\), а другой — начиная с \(x_{n_{2}}\). Тогда члены последовательности \(\left \{ x_{n} \right \}\) будут принадлежать \(V_{\varepsilon }\left ( a \right )\), начиная с номера \(n_{0}=max \left \{ n_{1}; n_{2} \right \}\) . Далее повторяем рассуждения, опирающиеся на геометрический смысл определения предела. \)