№7461

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Предел последовательности, Теоремы о пределах,

Задача в следующих классах: 9 класс 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выясните, сходится ли последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \) и найдите предел сходящейся последовательности: \(x_{1}> 0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{n}+\frac{a}{x_{n}} \right )\), где \(a> 0, n\in N \)

Ответ

NaN

Решение № 7461:

Все члены последовательности положительны, коль скоро первый её член положителен. Рассмотрим разность \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{x_{n}}-x_{n} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{a-x_{n}^{2}}{x_{n}} \right )\). Знак этой разности определяется соотношением между \(x_{n}\) и \(\sqrt{a}\). Применив неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел \(\frac{a}{x_{n}} и x_{n}\), получим \(x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}\geqslant \sqrt{x_{n}*\frac{a}{x_{n}}}=\sqrt{a}\). Итак, все члены последовательности, начиная со второго, больше \(\sqrt{a}\), а потому последовательность убывает, начиная с \(x_{2}\). Таким образом, последовательность убывает и ограничена снизу (например, числом \(\sqrt{a}\) или просто нулём), а значит, имеет предел. Обозначим\( \lim_{n \to \propto }x_{n}=\lim n_{\to \propto} x_{n+1}=b\). Совершив предельный переход в равенстве, получим, что\(b=\frac{1}{2}\left ( b+\frac{a}{b} \right )\). А следовательно, \(b^{2}=a b=\sqrt{a}\)( так как \(\forall n\in N x_{n}> 0)\)