Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Придумайте реальную ситуацию, описываемую заданной математической моделью: \(с = 1\)

Решение №11732: \((\frac{20}{x} = \frac{25}{x+1}\) Велосипедисты проехали по проселочной дороге 20 км, а затем 25 км по шоссе, увеличив при этом свою скорость на 1 км/ч. На путь по проселочной дороге и на путь по шоссе они затратили одинаковое время. Найдите скорость велосипедистов по проселочной дороге.

Ответ: NaN

Какие значения может принимать число \(a\), если дробь \(\frac{x^{2}+2x-8}{x-a}\) определена при всех значениях \(x\), удовлетворяющих условию: \(x \neq 0\)

Решение №11735: \(x-a \neq 0; 0-a \neq 0; -a \neq 0; a \neq 0 ⇒ a=0, при x \neq 0 \)

Ответ: \(x-a \neq 0; 0-a \neq 0; -a \neq 0; a \neq 0 ⇒ a=0, при x \neq 0 \)

Какие значения может принимать число \(a\), если дробь \(\frac{x^{2}+2x-8}{x-a}\) определена при всех значениях \(x\), удовлетворяющих условию: \(|x| \neq 1\)

Решение №11737: \(|x| \neq 1; x_{1}=-1; x_{2}=1; x-a \neq 0; -1-a \neq 0 ⇒ -a \neq 1 ⇒ a \neq -1; 1-a \neq 0 ⇒ -a \neq -1 ⇒ a \neq 1; При x \neq -1, a=-1, при x \neq 1, a=1\)

Ответ: \(|x| \neq 1; x_{1}=-1; x_{2}=1; x-a \neq 0; -1-a \neq 0 ⇒ -a \neq 1 ⇒ a \neq -1; 1-a \neq 0 ⇒ -a \neq -1 ⇒ a \neq 1; При x \neq -1, a=-1, при x \neq 1, a=1\)

При каких значениях \(a\) определена для всех значений \(x\) дробь: \(\frac{3x-a}{x^{2}-a}\)

Решение №11738: \(\frac{3x-a}{x^{2}-a}; x^{2}-a \neq 0; x^{2}>0 при любых значениях x, значит, a<0\)

Ответ: \(a<0\)

Зная, что \(3x-9y=1\), найдите значение выражения: \(\frac{12y-4x}{5}\)

Решение №11743: \(\frac{12y-4x}{5} = \frac{-4(x-3y)}{5} = \frac{-4 \cdot \frac{1}{3}}{5} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{4}{15}\)

Ответ: \( -\frac{4}{15}\)

Зная, что \(\frac{a}{b}=3\), найдите значение выражения: \(\frac{a+b}{b}\)

Решение №11747: \(\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{a}{b} = \frac{a}{b} + 1 = 3+1=4\)

Ответ: 4

Зная, что \(\frac{x}{y}=\frac{1}{5}\), найдите значение выражения: \(\frac{x+y}{x}\)

Решение №11750: \(\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x} = 1+5 = 6\)

Ответ: 6

Зная, что \(\frac{a+2b}{b}=7\), найдите значение выражения: \(\frac{a}{b}\)

Решение №11755: \(\frac{a+2b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{2b}{b}=\frac{a}{b}+2=7⇒\frac{a}{b}=7-2=5; \frac{a}{b}=5\)

Ответ: 5

Зная, что \(\frac{a+2b}{b}=7\), найдите значение выражения: \(\frac{4b-a}{2a}\)

Решение №11758: \(\frac{4b-a}{2a}=\frac{4b}{2a}-\frac{a}{2a}=\frac{2b}{a}-\frac{1}{2}=2\tfrac{b}{a}=2 \cdot \frac{1}{5}-\frac{1}{2}=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=\frac{4}{10}-\frac{5}{10}=-\frac{1}{10}=-0,1\)

Ответ: -0.1

Зная, что \(\frac{x-3y}{y}=12\), найдите значение выражения: \(\frac{x}{y}\)

Решение №11759: \(\frac{x}{y}-\frac{3y}{y}=12; \frac{x}{y}-3=12; \frac{x}{y}=12+3; \frac{x}{y}=15\)

Ответ: 15

Зная, что \(\frac{x-3y}{y}=12\), найдите значение выражения: \(\frac{3x-y}{2x}\)

Решение №11762: \(\frac{3x-y}{2x} = \frac{3x}{2x}-\frac{y}{2x}=\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}=1,5 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{15}=1,5-\frac{1}{30}=1\tfrac{5}{10}-\frac{1}{30}=1\tfrac{15}{30}-\frac{1}{30}=1\tfrac{14}{30}=1\tfrac{7}{15}\)

Ответ: \(1\tfrac{7}{15}\)

Найдите все натуральные значения \(n\), при которых заданная дробь является натуральным числом: \(\frac{6-n}{n}\)

Решение №11765: \(\frac{6-n}{n}=\frac{6}{n}-\frac{n}{n}=\frac{6}{n}=-1; При n=1;2;3 дробь \frac{6n-n}{n} является натуральным числом.\)

Ответ: \(При n=1;2;3 дробь \frac{6n-n}{n} является натуральным числом.\)

Выразите: переменную \(y\) из равенства \((x-2)(y+4)=15\)

Решение №11769: \((x-2)(y+4)=15; y+4=\frac{15}{x-2}; y=\frac{15}{x-2}-4=\frac{15-4(x-2)}{x-2}=\frac{15-4x+8}{x-2}=\frac{23-4x}{x-2}\)

Ответ: \(\frac{23-4x}{x-2}\)

Выразите: переменную \(y\) из равенства \(\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}=1\)

Решение №11772: \(\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}=1; \frac{1}{x+\frac{1}{\frac{yz+1}{z}}}=1; \frac{1}{x+\frac{z}{yz+1}}=1; \frac{1}{\frac{x(yz+1)+z}{x(yz+1)+z}}=1; \frac{yz+1}{x(yz+1)+z}=1; yz+1=x(yz+1)+z; yz+1=xyz+x+z; yz-xyz-z=x-1; z(y-xy-1)=x-1; \frac{x-1}{y-xy-1}=\frac{(x-1) \cdot (-1)}{(y-xy-1) \cdot (-1)}=\frac{1-x}{1+xy-y}\)

Ответ: \(\frac{1-x}{1+xy-y}\)

Сократите дробь: \(\frac{48m(2m-n)^{3}}{60n(2m-n)^{3}}\)

Решение №11776: \(\frac{48m(2m-n)^{3}}{60n(2m-n)^{3}} = \frac{4 \cdot 12 \cdot m}{5 \cdot 12 \cdot n}=\frac{4m}{5n}\)

Ответ: \(\frac{4m}{5n}\)

Сократите дробь: \(\frac{2x-2y-x^{2}+y^{2}}{x^{3}y-2x^{2}y^{2}+xy^{3}}\)

Решение №11779: \(\frac{2x-2y-x^{2}+y^{2}}{x^{3}y-2x^{2}y^{2}+xy^{3}}= \frac{2(x-y)-(x^{2}-y^{2})}{xy(x^{2}-2xy+y^{2})}= \frac{2(x-y)-(x-y)(x+y)}{xy(x-y)^{2}}= \frac{(x-y)(2-x-y)}{xy(x-y)^{2}}=\frac{2-x-y}{xy(x-y)}\)

Ответ: \(\frac{2-x-y}{xy(x-y)}\)

Докажите тождество: \(\frac{24,5x^{2}-0,5y^{2}}{3,5x^{2}-0,5xy} = \frac{7x+y}{x}\)

Решение №11782: \(\frac{24,5x^{2}-0,5y^{2}}{3,5x^{2}-0,5xy} = \frac{0,5(49x^{2}-y^{2})}{0,5x(7x-y)}=\frac{(7x-y)(7x+y)}{x(7x-y)}=\frac{7x+y}{x}; \frac{7x+y}{2}=\frac{7x+y}{2}\)

Ответ: \(\frac{7x+y}{2}\)

Найдите значение дроби: \(\frac{16m^{2}-4n^{2}}{6m-3n}\), при \(m=1,5, n=-4,5\)

Решение №11787: \(\frac{16m^{2}-4n^{2}}{6m-3n}=\frac{4(2m-n)(2m+n)}{3(2m-n)}=\frac{4(2m+n)}{3}; m=1,5; n=-4,5; \frac{4(2m+n)}{3}=\frac{4 \cdot (2 \cdot 1,5-4,5)}{3}=\frac{4 \cdot (3-4,5)}{3} = \frac{4 \cdot (-1,5)}{3}=-\frac{4}{2}=-2\)

Ответ: -2

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(\frac{2x^{2}+8}{10x^{3}+40x}\)

Решение №11792: \(\frac{2x^{2}+8}{10x^{3}+40x}=\frac{2(x^{2}+4)}{10x(x^{2}+4)}=\frac{2}{10x}=\frac{1}{5x}; Допустимые значения: x\neq 0. Не изменилось\)

Ответ: \(x\neq 0. Не изменилось\)

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(cc\)

Решение №11795: \(\frac{x^{2}-4y^{2}}{2x+4y}=\frac{(x-2y)(x+2y)}{2(x+2y)}=\frac{x-2y}{2}; \frac{x-2y}{2} имеет смысл при любых значениях x, y, изменилось.\)

Ответ: \( \frac{x-2y}{2} имеет смысл при любых значениях x, y, изменилось.\)

Сократите дробь и выясните, изменилось ли в результате сокращения множество допустимых значений её переменных: \(\frac{d^{2}-8dn+16n^{2}}{12n-3d}\)

Решение №11796: \(\frac{d^{2}-8dn+16n^{2}}{12n-3d}=\frac{(d-4n)^{2}}{3(4n-d)}=\frac{(4n-d)^{2}}{3(4n-d)}=\frac{4n-d}{3}; \frac{4n-d}{3} имеет смысл при любых значениях n, d, изменилось.\)

Ответ: \(\frac{4n-d}{3} имеет смысл при любых значениях n, d, изменилось.\)

Докажите, что значение данной дроби при всех допустимых значениях \(x\) равно -8, укажите эти допустимые значения \(x\): \(\frac{8x^{3}-64}{(2-x)(x^{2}+2x+4)}\)

Решение №11799: \(\frac{8x^{3}-64}{(2-x)(x^{2}+2x+4)} = \frac{8(x^{3}-8)}{(2-x)(x^{2}+2x+4)}=\frac{-8(8-x^{3)}{(2-x)(x^{2}+2x+4)}=\frac{-8(2-x)(4+2x+x^{2}}{(2-x)(x^{2}+2x+4)}=-8, при 2-x \neq 0; -x \neq -2; x \neq 2 и (x^{2}+2x+4) \neq 0\)

Ответ: NaN

Найдите значения параметра \(a\), при которых значение дроби при всех допустимых значениях \(t\) постоянно. Укажите это значение дроби и допустимые значения \(t\): \(\frac{9t^{2}-4}{(2-at)(2-3t)}\)

Решение №11803: \(\frac{9t^{2}-4}{(2-at)(2-3t)} При a=-3 значение дроби всегда равно -1 при всех t \neq -\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\)

Ответ: \(При a=-3 значение дроби всегда равно -1 при всех t \neq -\frac{2}{3}; \frac{2}{3}\)

Найдите значения параметра \(a\), при которых значение дроби при всех допустимых значениях \(t\) постоянно. Укажите это значение дроби и допустимые значения \(t\): \(\frac{2t^{2}-12t}{t^{2}-3at}\)

Решение №11804: \(\frac{2t^{2}-12t}{t^{2}-3at} При a=2 значение дроби всегда равно 2 при всех t \neq 0; 6\)

Ответ: \(При a=2 значение дроби всегда равно 2 при всех t \neq 0; 6\)

Найдите значения параметра \(a\), при которых значение дроби при всех допустимых значениях \(t\) постоянно. Укажите это значение дроби и допустимые значения \(t\): \(\frac{t^{3}+8}{(2+at)(-t^{2}+2t-4}\)

Решение №11805: \(\frac{t^{3}+8}{(2+at)(-t^{2}+2t-4} При a=1 значение дроби всегда равно -1 при всех t \neq -2\)

Ответ: \( При a=1 значение дроби всегда равно -1 при всех t \neq -2\)

Пусть \(\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}} = … = \frac{a_{n}}{b_{n}} = k\). Докажите, что \(\frac{a_{1}+a_{2}+ … a_{n}}{b_{1}+b_{2}+ … b_{n}}\).

Решение №11806: \(\frac{a_{1}+a_{2}+ … a_{n}}{b_{1}+b_{2}+ … b_{n}}=k; \frac{a_1}{b_1}=k ⇒a_1=kb_1⇒\frac{a_2}{b_2}=k⇒a_2=kb_2; \frac{a_n}{b_n}⇒a_n=kb_n; \frac{a_{1}+a_{2}+ … a_{n}}{b_{1}+b_{2}+ … b_{n}}=\frac{kb_1+kb_2+ ... +kb_n}{b_1+b_2+…+b_n}=\frac{k(b_1+b_2+...b_n}{b_1+b+2+...+b_n}=k\)

Ответ: NaN

Найдите все пары \((x; y)\), при которых данная дробь не определена, и изобразите их на координатной плоскости: \(\frac{3x-5y}{x-y}\)

Решение №11807: \(\frac{3x-5y}{x-y}; (t;t), где t - любое число\)

Ответ: \((t;t), где t - любое число\)

Найдите все пары \((x; y)\), при которых данная дробь не определена, и изобразите их на координатной плоскости: \(\frac{10x}{2x-y}\)

Решение №11808: \(\frac{10x}{2x-y}; (t;2t), где t - любое число\)

Ответ: \( (t;2t), где t - любое число\)

Найдите все пары \((x; y)\), при которых данная дробь не определена, и изобразите их на координатной плоскости: \(\frac{2x+y}{x+y}\)

Решение №11809: \(\frac{2x+y}{x+y}; (-t;t), где t - любое число\)

Ответ: \((-t;t), где t - любое число\)

Найдите все пары \((a; b)\), при которых данная дробь не определена, и изобразите их на координатной плоскости: \(\frac{7ab}{(b-3)(4a-3b)}\)

Решение №11814: \(\frac{7ab}{(b-3)(4a-3b)}; (t;3) или (3t;4t), где t - любое число\)

Ответ: \((t;3) или (3t;4t), где t - любое число\)