Задачи
Задачи
Фильтрация
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15782: \( \frac{\log _{a}b+\log _{a}\left (b^{1/2\log _{b}a^{2}} \right )}{\log _{a}b-\log _{ab}b}*\frac{\log _{ab}b*\log _{a}b}{b^{2\log _{b}\log _{a}b}-1}=\frac{\log _{a}b+\log _{a}a}{\log _{a}b-\frac{\log _{a}b}{1+\log _{a}b}}*\frac{\frac{\log _{a}b}{1+\log _{a}b}*\log _{a}b}{\log _{a}^{2}b-1}=\frac{\left ( 1+\log _{a}b \right )^{2}}{\log _{a}^{2}b}*\frac{\log _{a}^{2}b}{\left ( 1+\log _{a}b \right \)left ( \log _{a}b-1 \right \)left ( \log _{a}b+1 \right )}=\frac{1}{\log _{a}b-1} \)
Ответ: \( \frac{1}{\log _{a}b-1} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15783: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \log _{5}x+\frac{1}{2}\log _{5}x=-\frac{1}{2}\log _{5}3 \Leftrightarrow 2\log _{5}x+\log _{5}x=\log _{5}\frac{1}{3} \Leftrightarrow \log _{5}x^{3}=\log _{5}\frac{1}{3} \) Отсюда имеем \( x^{3}=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[3]{3}} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15784: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 2. Имеем \( \frac{1}{\log _{2}x}-\frac{1}{2}\log _{2}x+\frac{7}{6}=0 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{2}x-7\log _{2}x-6=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{2}x \), найдем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=-\frac{2}{3} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, x_{2}=8 \)
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[3]{4}}; 8 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15785: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Записывая уравнение в виде \( \lg x^{1-\frac{2}{3}\lg x}=\lg \frac{1}{\sqrt[3]{100}} \) и логарифмируя обе части по основанию 10, получаем \( \left ( 1-\frac{2}{3}\lg x \right \)lg x =-\frac{1}{3}\lg 100, 2\lg ^{2}x-\lg x -2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg х \), находим \( \left ( \lg x \right )_{1}=-\frac{1}{2} \) или \( \left ( \lg x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=10^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}, x_{2}=10^{2}=100 \)
Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{10}}; 100 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15786: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем \( \lg x^{lg^{3} x-5\lg x}=\lg 0.0001\Rightarrow \left ( \lg ^{3}x-5\lg x \right \)lg x=-4, \lg ^{4}x-5\lg ^{2}x+4 =0 \) .Отсюда \( \left ( \lg x \right )_{1}=-1, \left ( \lg x \right )_{2}=1, \left ( \lg x \right )_{3}=-2, \left ( \lg x \right )_{4}=2 \) . Тогда \( x_{1}=\frac{1}{10}, x_{2}=10, x_{3}=\frac{ 1}{ 100}, x_{ 4} = 100 \) .
Ответ: \( \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, 10, 100 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15787: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим \( \lg x^{2\lg ^{2}x}=\lg 10x^{3} \Leftrightarrow 2\lg x^{3}=1+3\lg x \Leftrightarrow 2\lg x^{3}-3\lg x-1=0 \Leftrightarrow 2\lg x^{3}+2-3\lg x-3=0 \Leftrightarrow 2\left ( \lg x+1 \right \)left ( \lg ^{2}x-\lg x+1 \right )-3\left ( \lg x+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( \lg x+1 \right \)left ( 2\lg ^{2}x-2\lg x-1 \right )=0 \), откуда \( \left ( \lg x \right )_{1}=-1, \left ( \lg x \right )_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \left ( \lg x \right )_{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \) Получили \( x_{1}=\frac{1}{10}, x_{2}=10^{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}, x_{3}=10^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} \)
Ответ: \( \frac{1}{10}, 10^{\frac{1-\sqrt{3}}{2}}, 10^{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15788: ОДЗ: \( \log _{4x+1}7+\log _{9x}7=0 \left\{\begin{matrix} 0< 4x+1\neq 1 & & \\ 0< 9x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< x\neq \frac{1}{9} \) Перейдем к основанию 7. Имеем \( \frac{1}{\log _{7}\left ( 4x+1 \right )}+\frac{1}{\log _{7}9x}=0\Rightarrow \log _{7}9x=-\log _{7}\left ( 4x+1 \right \)Leftrightarrow 9x=\frac{1}{4x+1}\Leftrightarrow 36x^{2}+9x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{12}, x_{2}=-\frac{1}{3}; x_{2}=-\frac{1}{3} \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \frac{1}{12} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15789: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{2}^{2}4x+\log _{2}\frac{x^{2}}{8}-8=0, \left ( \log _{2}4+\log _{2}x \right )^{2}+\log _{2}x^{2}-\log _{2}8-8=0, \log _{2}^{2}x+6\log _{2}x-7= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{ 2} x \), найдем \( \left (\log _{ 2} x \right )_{1}= -7 \), откуда \( x_{1}=2^{-7}=\frac{1}{128} \), или \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{2}=2 \)
Ответ: \( \frac{1}{128}; 2 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15790: ОДЗ: \( x> 0 \) Перейдем к основанию 4. Имеем \( 5*5^{\log _{4}x}+\frac{1}{5*5^{\log _{4}x}}-\frac{26}{5}=0\Leftrightarrow 25*\left ( 5^{\log _{4}x} \right )^{2}-26*5^{\log _{4}x}+1=0 \Rightarrow \left ( 5^{\log _{4}x} \right )_{1}=5^{-2}, \left ( 5^{\log _{4}x} \right )_{2}=5^{\circ} \), откуда \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=-2 \left ( \log _{4}x \right )_{2}=0 \) Следовательно, \( x_{1}=\frac{1}{16}, x_{2}=1 \)
Ответ: \( \frac{1}{16}; 1 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15791: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq > 0 & & \\ 27-3^{1/3}> 0 & & \end{matrix}\right. \lg 3^{1+\frac{1}{2x}}+\lg 2=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ) * \lg \left ( 2*3^{1+\frac{1}{2x}} \right )=\lg \left ( 27-3^{\frac{1}{x}} \right ), 2*3^{1+\frac{1}{2x}}=27-3^{\frac{1}{x}} , 3^{\frac{1}{x}}+6*3^{ \frac{1}{ 2x}} -27 =0 \) Это уравнение, квадратное относительно \( 3^{\frac{1}{2x}} \) ; найдем \( 3^{\frac{1}{2x}}=-9 \), которое не подходит, и \( 3^{ \frac{1}{2x}}= 3 \), откуда \( x=\frac{1}{2} \)
Ответ: \( \frac{1}{2} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15792: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+1.5> 0 & & \\ x> 0 & & \end{matrix}\right. \lg \left ( x+1.5 \right )+\lg x=0\Rightarrow \lg \left ( x+1,5 \right )x=0\Rightarrow x^{2}+1.5x-1=0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=-2; x_{2} =-2 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \frac{1}{2} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15793: Из условия имеем \( 3*4^{x}+\frac{1}{3}*81*9^{x}=6*4*4^{x}-\frac{1}{2}*9*9^{x}\Rightarrow 3*9^{x}=2*4^{x}\Rightarrow \left ( \frac{9}{4} \right )^{x}=\frac{2}{3}, \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{-1} \), откуда \( x=-\frac{1}{2} \)
Ответ: \( -\frac{1}{2} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15794: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} -x> 0, & & \\ x^{2}> 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< 0 \) Так как по ОДЗ \( x< 0 \), то имеем \( 4\log _{4}^{2}\left ( -x \right )+4\log _{4}\left ( -x \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( 2\log _{4}\left ( -x \right )+1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow 2\log _{4}\left ( -x \right )=-1, \log _{4}\left ( -x \right )=-\frac{1}{2} \) Отсюда \( -x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}, x=-\frac{1}{2}\)
Ответ: \( -\frac{1}{2} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15795: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 2^{2x+2y}=2^{y-x} & & \\ 2^{\log _{2}x^{4}}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y=y-x & & \\ x^{4}=y^{4}-5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow y=-3x \) Из второго уравнения \( x^{4}=\left ( -3x \right )^{4}-5, x^{4}=\frac{1}{16} \), откуда, учитывая ОДЗ, получаем \( x=\frac{1}{2}, y=-\frac{3}{2} \)
Ответ: \( \frac{1}{2}; -\frac{3}{2} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15796: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} \log _{x}\sqrt{5x}\geq 0, & & & \\ -\log _{x}5\geq 0, & & & \\ 0< x\neq 1 & & & \end{matrix}\right. \) или \( 0< x\leq \frac{1}{5} \) Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем \( \log _{x}\sqrt{5x}=\log _{x}^{2}5\Leftrightarrow 2\log _{x}^{2}5-\log _{x}5-1=0\Rightarrow \left ( \log _{x}5 \right )_{1}=-\frac{1}{2}, x_{1}=\frac{1}{25} \) или \( \left ( \log _{x}5 \right )=1, x_{2}=5 ; x_{2}=5 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: \( \frac{1}{25} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15797: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 5. Из условия получаем \( \sqrt{\log _{5}^{2}x+\frac{1}{\log _{x}^{2}5}+2}=2.5 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{\log _{5}^{4}x+2\log _{5}^{2}x+1}{\log _{5}^{2}x}}=2.5 \Leftrightarrow \sqrt{\left ( \frac{\log _{5}^{2}x+1}{\log _{5}x} \right )^{2}}=2.5 \Leftrightarrow \frac{\log _{5}^{2}x+1}{\left | \log _{5}x \right |}=2.5 \) Получаем 2 случая: \( \left\{\begin{matrix} \log _{5}x< 0, & & \\ \log _{5}^{2}x+2.5\log _{5}x+1=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left ( \log _{5}x \right )_{1}=\frac{1}{2}< 0, \left ( \log _{5}x \right )_{2}=-2< 0 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}} , x_{2}=\frac{1}{25} . \left\{\begin{matrix} \log _{5}x> 0, & & \\ \log _{5}^{2}x-2.5\log _{5}x+1=0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left ( \log _{5}x \right )_{3}=\frac{1}{2}> 0 , \left ( \log _{5}x \right )_{4}=2> 0 \), откуда \( x_{3}=\sqrt{5} , x_{4}=25 \)
Ответ: \( \frac{1}{25} ;\frac{1}{\sqrt{5}} ; \sqrt{5} ; 25 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15798: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 27. Имеем \( \frac{2}{\log _{x}27}-3\log _{27}x-1=0\Rightarrow 3\log _{27}^{2}x+\log _{27}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{27}x \), получаем \( \left (\log _{27}x \right )_{1}=-1 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{27} \), или \( \left (\log _{27}x \right )_{2}=\frac{2}{3} \), откуда \( x_{2}=27^{\frac{2}{3}}=9 \)
Ответ: \( \frac{1}{27} ; 9 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15799: ОДЗ: \( \begin{bmatrix} x\geq 3, & & \\ 0< x< 1. & & \end{bmatrix} \) Перейдем к основанию 3. Получаем \( 2\log_{3}x*\sqrt{2-\frac{2}{\log_{3}x}}+4=0 \Leftrightarrow \log_{3}x*\sqrt{\frac{2\log_{3}x-2}{\log_{3}x}}=-2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_{3}^{2}x-\log_{3}x-2=0 & & \\ \log_{3}x< 0 & & \end{matrix}\right. \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log_{3}x \), имеем \( \left ( \log_{3}x \right )_{1}=-1 \), или \( \left ( \log_{3}x \right )_{2}=2; \left ( \log_{3}x \right )_{2}=2 \) - постороннее решение. Отсюда \( x=3^{-1}=\frac{1}{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{3} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15800: ОДЗ: \( 2^{1.5x-2.5}+2^{1.5x-0.5}-0.01*5^{3x+1}> 0 \) По определнию логарифма получаем \( 2^{1.5x-2.5}+2^{1.5x-0.5}-0.01*5^{3x+1}=5^{3x-1} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}+\frac{2^{1.5x}}{2^{0.5}}-0.05*5^{3x}=\frac{5^{3x}}{5} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}+\frac{2^{1.5x}}{2^{0.5}}=\frac{5^{3x}}{5}+\frac{5^{3x}}{20} \Leftrightarrow \frac{2^{1.5x}}{2^{2.5}}=\frac{5^{3x}}{2^{2}*5} \Leftrightarrow 2^{1.5x-0.5}=5^{3x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1.5x-0.5=0, & & \\ 3x-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{1}{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{3} )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15801: Очевидно, что \( x\neq 3 \), следовательно, \( \left | x-3 \right |> 0 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем \( \left ( 3x^{2}-10x+3 \right \)lg \left | x-3 \right |=0 \), откуда \( 3x^{2}-10x+3=0 \), или \( \lg \left | x-3 \right |=0 \) Корнями квадратного уравнения \( 3x^{2}-10x+3=0 \), будут \( x_{1}=\frac{1}{3} \), и \( x_{2}=3 \) Из уравнения \( \lg \left | x-3 \right |=0 \), найдем \( \left | x-3 \right |=1 \Rightarrow x-3=-1 \), или \( x-3=1 \) Тогда \( x_{3}=2, x_{4}=4; x_{2}=3 \) не подходит по ОДЗ логарифма.
Ответ: \( \frac{1}{3}; 2; 4 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15802: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x}+\left ( \frac{2}{5} \right )^{\log_{3}x}-2.9=0 \) Умножив уравнение на \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \), получим \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{2\log_{3}x}-2.9*\left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x}+1=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \), найдем \( \left ( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \right )_{1}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{-1} \), откуда \( \log_{3}x=-1, x_{1}=\frac{1}{3} \), или \left ( \left ( \frac{5}{2} \right )^{\log_{3}x} \right )_{2}=\frac{5}{2} \), откуда \( x_{2}=3\)
Ответ: \( \frac{1}{3}; 3)\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15803: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3. Имеем \( \frac{1}{\log _{3}x}+\log _{3}x=\frac{2}{\log _{3}x}+\frac{1}{2}\log _{3}x+\frac{1}{2} \Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-\log _{3}x-2=0 \Rightarrow \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-1 \), или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{3}, x_{2}=9 \)
Ответ: \( \frac{1}{3}; 9 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15804: Перепишем уравнение в виде \( \left | x-2 \right |^{10x^{2}-3x-1}=\left | x-2 \right |^{\circ} \) Тогда получим два случая: \( \left | x-2 \right |=1 \), откуда \( x-2=-1 \), или \( x-2=1 , x_{1}=1 ,x_{2}=3; \left\{\begin{matrix} 0< x\left | x-2 \right |\neq 1 & & \\ 10x^{2}-3x-=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 2 & & \\ x\neq 1, x\neq 3 & & \\ x_{3}=-\frac{1}{5}, x_{4}=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right. \.
Ответ: \( -\frac{1}{5} ; \frac{1}{2}; 1; 3 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15805: ОДЗ: \( x\neq 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{\frac{x}{2}}*2^{\frac{x}{3}}*2^{-\frac{1}{2x}}=2^{2}*2^{\frac{1}{3}}, 2^{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}}=2^{2+\frac{1}{3}} \), откуда \( \frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{1}{2x}=\frac{7}{3}, 5x^{2}-14x-3=0 \) Тогда \( x_{1}=-\frac{1}{5}, x_{2}= 3 \)
Ответ: \( -\frac{1}{5}, 3 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15806: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 5. Тогда получаем \( \frac{\log _{5}125x}{\log _{5}x}*\frac{\log _{5}^{2}x}{\log _{5}^{2}25}=1 \Leftrightarrow \log _{5}^{2}x+3\log _{5}x-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{5}x \), имеем \( \left ( \log _{5}x \right )_{1}=1 \), или \( \left ( \log _{5}x \right )_{2}=-4 \), откуда \( x_{1}=5, x_{2}=\frac{1}{625} \)
Ответ: \( \frac{1}{625}; 5 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15807: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 3\log _{2}^{4}x-\log _{2}^{2}x-9\geq 0, & & \\ 0< x\neq 1. & & \end{matrix}\right. \) Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда \( \frac{3\log _{2}^{4}x-\log _{2}^{2}x-9}{\log _{2}^{2}x}=25 \Leftrightarrow 3\log _{2}^{4}x-26\log _{2}^{2}x-9=0 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \log _{2}x \), найдем \( \left ( \log _{2}x \right )_{1}=-3 \), и \( \left ( \log _{2}x \right )_{2}=3 \), откуда \( x_{1}=\frac{1}{8} , x_{2}=8 \)
Ответ: \( \frac{1}{8}; 8 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15808: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( \frac{\log _{3}9x^{2}}{\log _{3}x}*\log _{2}^{3}x=4 , \left ( \log _{3}9+\log _{3}x^{2} \right \)log _{3}x=4 , \log _{3}^{2}x+\log _{3}x-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{3}x \), найдем \( \left ( \log _{3} x \right )_{1}= -2 \), откуда \( x_{1}= \frac{ 1}{ 9} , \left (\log _{3}x \right )_{2}=1 \), откуда \( x_{ 2 }= 3 \)
Ответ: \( \frac{1}{9} ; 3 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15809: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( \log _{3}x*\frac{1}{2}\log _{3}x*\frac{1}{3}\log _{3}x*\frac{1}{4}\log _{3}x=\frac{2}{3} , \log _{4}^{3}x=16 \), откуда \( \left ( \log _{3}x \right )_{1}=-2 \) или \( \left ( \log _{3}x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=\frac{1}{9}. x_{2}=9 \)
Ответ: \( \frac{1}{9}; 9 )\
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.
Решение №15810: Отметим на окружности три точки \(А\), \(В\) и \(С\). Центр окружности это точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам \(АВ\) и \(ВС\).
Ответ: NaN
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.
Решение №15811: Сначала через данную точку \(А\) проведите диаметр окружности, а затем через точку \(А\) проведите прямую, перпендикулярную этому диаметру.
Ответ: NaN