Решение №35614: Через год предприниматель должен вернуть банку \(1000000\cdot 1,2=1200000\) (рублей), банк на этом заработает \(1200000-1000000=200000\) (рублей). Ответ: 1 200 000 рублей; 200 000 рублей.

Ответ: 1200000; 200000

Решение №35615: Клиент будет вносить ежемесячно \(\frac{18000\cdot 1,14}{12}=\frac{20520}{12}=1710\) (рублей). Ответ: 1710 рублей

Ответ: 1710

Решение №35616: Пусть \(S\) — сумма кредита; \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) — выплаты с февраля по нюнь каждого года. Начисление 25% соответствует умножению на коэффициент \(1+\frac{25}{100}=1,25\). Составим уравнения, которые соответствуют рафику погашения кредита: 2018 г.: \(1,25S-x_{1}=0,7S\), 2019 г.: \(1,25\cdot 0,7S-x_{2}=0,4S\), 2020 г.: \(1,25\cdot 0,4S-x_{3}=0\). Таким образом, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют \(x_{1}=0,55S\); \(x_{2}=0,475S\); \(x_{3}=0,5S\). Наименьшая из выплат должна быть больше 3 млн рублей: \(0,475S>3\), \(S>3\cdot \frac{1000}{475}\), \(S>3\cdot \frac{40}{19}\), \(S>6\frac{6}{19}\). Наименьшим целым числом, удовлетворяющим последнему неравенству, является \(S=7\). Ответ: 7.

Ответ: 7

Решение №35617: Ежемесячная выплата складывается из выплаты части полученного кредита и выплаты процентов за обслуживание кредита, начисленных банком на оставшуюся сумму долга. Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на сумму выплаченных процентов за обслуживание кредита. Посчитаем сумму выплаченных процентов. В июне предприниматель выплатит \(100% \cdot 0,05\) от кредита, в июле — \(80%\cdot 0,05\) от кредита, в августе — \(60%\cdot 0,05\) от кредита, в сентябре — \(40%\cdot 0,05\) от кредита, в октябре — \(20%\cdot 0,05\) от кредита. Всего предприниматель за обслуживание кредита выплатит \(0,05\cdot 100%+0,05\cdot 80%+... +0,05\cdot 20%=0,05(100%+80%+60%+40%+20%)=0,05\cdot 300%=15%. Ответ: 15.

Ответ: 15

Решение №35618: Долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на июль клждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: \(S\); \(0,75S\); \(0,3S\); 0. По условию в январе каждого года долг увеличивается на 20%, значит, долг в январе каждого года равен \(1,2S\); \(0,84S\); \(0,36S\). Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: \(0,45S\); \(0,54S\); \(0,36S\). По условию числа \(S\); \(\frac{9S}{20}\); \(\frac{27S}{50}\); \(\frac{9S}{25}\) должны быть целыми. Значит, число \(S\) должно делиться на 20, 50 и 25. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 100. Ответ: 100 тысяч рублей.

Ответ: 100000

Решение №35619: Задачу можно решить с помощью таблицы. В графе «Долг» указан долг на начало месяца перед начислением процентов. Процентный платёж 12% годовых означает 1% в месяц и равен 0,01 от суммы долга на начало месяца (см. рис. Ниже). Ответ: 12 420 рублей.

Ответ: 12450

Решение №35620: Пусть кредит планируется взять на п лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно: \(10, \frac{10(n-1)}{n}, …, \frac{10\cdot 2}{n}, \frac{10}{n}, 0\). По условию каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последо-и.тгсльность размеров долга (в млн рублей) в январе такова: \(12, \frac{12(n-1)}{n}, ... , \frac{12\cdot 2}{n}, \frac{12}{n}, 0\). Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими: \(2+\frac{10}{n}, \frac{2(n-1)+10}{n}, ... , \frac{4+10}{n}, \frac{2+10}{n}\). Всего следует выплатить \(10+2\cdot \left (\frac{n+(n-1)+...+2+1}{n}\right )=10+2\cdot \frac{n+1}{2}=n+11\) (млн рублей). Общая сумма выплат равна 18 млн рублей, поэтому \(n=7\). Ответ: 7.

Ответ: 7

Решение №35621: Пусть \(K\) — сумма кредита. Тогда, согласно условию воз-ирата кредита, эта сумма будет ежемесячно уменьшаться на одну и ту же сумму, равную \(\frac{K}{24}\), поэтому на каждое 15-е число, считая от месяца получения кредита, сумма долга составляет: \(K, \frac{23}{24}K, \frac{22}{24}K, ... , \frac{2}{24}K, \frac{1}{24}K, 0\). Выплаты по кредиту со 2-го по 14-е число согласно условию будут, ішчніїая с месяца, следующего за месяцем получения кредита, таковы: \(K\cdot \frac{r}{100}+\frac{K}{24}, \frac{23}{24}K\cdot \frac{r}{100}+\frac{K}{24}, \frac{22}{24}K\cdot \frac{r}{100}+\frac{K}{24}, ... , \frac{2}{24}K\cdot \frac{r}{100}+\frac{K}{24}, \frac{1}{24}K\cdot \frac{r}{100}+\frac{K}{24}\). Сумма всех выплат равна \(K+\frac{K}{24}\cdot \frac{r}{100}\cdot (24+23+22+...+2+1)=K\cdot \left (1+\frac{r}{24\cdot 100}\cdot \frac{25\cdot 24}{2}\right )=K\cdot \left (1+\frac{r}{8}\right )\). В соответствии с условием составим пропорцию: \(K - 100%\); \(K\cdot \left (1+\frac{r}{8}\right - 125%\). Отсюда \(K\cdot 125%=K\cdot \left (1+\frac{r}{8}\right )\cdot 100%\), \(1+\frac{r}{8}=\frac{5}{4}\), \(r=2\). Ответ: 2.

Ответ: 2

Решение №35622: Пусть кредит планируется взять на \(n\) лет. Остаток долга перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т.е. образует убывающую арифметическую профессию: \(8, \frac{8(n-1)}{n}, ... , \frac{8\cdot 2}{n}, \frac{8}{n}, 0\). Пусть \(x_{1}\), \(x_{2}\), ..., \(x_{n}\) — выплаты (в млн рублей), которые производит заёмщик с февраля по июнь каждого года. Каждая выплата состоит из постоянной части, равной \(\frac{8}{n}\), и процентных денег, начисленных на остаток долга: \(x_{1}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot 8\), \(x_{2}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot \frac{8(n-1)}{n}\), ... ,\(\frac{x_{n}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot \frac{8}{n}\). Таким образом, \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) тоже образуют убывающую арифметическую прогрессию. Следовательно, наибольшим годовым платежом будет \(x_{1}\). Составим и решим равенство: \(\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot 8\leq 2,4\), \(\frac{8}{n}\leq 0,8\), \(n\geq 10\). Поскольку в условии задачи требуется найти минимальное значение \(n\), то \(n=10\). Ответ: 10 лет.

Ответ: 10

Решение №35623: Очевидно, что чем больше Сергей Михайлович будет выплачивать в месяц, тем быстрее он погасит кредит. Поэтому предположим, что первые месяцы Сергей Михайлович будет выплачивать ровно по 360000 рублей, а в последний месяц эта сумма может оказаться меньше. Через месяц после того, как кредит был взят, в результате начисления процентов Сергей Михайлович окажется должен \(1,02\cdot 800000=816000\) рублей, а после ежемесячной выплаты эта сумма составит \(816000-360000=456000\) рублей. Ещё через месяц размер долга возрастёт до \(1,02\cdot 456000=465120\) рублей и после очередной выплаты уменьшится до 105120 рублей. Наконец, ещё через месяц этот долг возрастёт до \(1,02\cdot 105120=107222,4\) рубля, и Сергей Михайлович погасит кредит. Таким образом, минимальное количество месяцев, на которое Сергей Михайлович может взять кредит, равно 3. Ответ: 3.

Ответ: 3

Решение №35624: Составим таблицу погашения кредита (см. рис. ниже). Переплата составит \(50280,32-30000=20280,32\) рубля. Ответ: 6 лет; 20280,32 рубля.

Ответ: 6; 20280,32

Решение №35625: Пусть искомый ежегодный платёж составляет \(x\) рублей. Тогда в конце первого года клиент будет должен \(1,3\cdot 15960000-x=20748000-x\) (рублей). Аналогично, в конце второго года его долг составит \((1,3\cdot (20748000-x)-x)=26972400-2,3x\) рублей, а к концу третьего \(1,3\cdot (26972400-2,3x)-x=35064120-3,99x\) рублей. Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей. Составим и решим уравнение: \(35064120-3,99x=0\), \(x=8788000\). Ответ: 8788000 рублей.

Ответ: 8788000

Решение №35626: После начисления процентов в конце первого года сумма, которую должен выплатить Иван, возрастает до \(2000000\cdot \left (1+\frac{x}{100}\right )\) рублей, из них Иван выплачивает 1210000 рублей, уменьшая тем самым сумму долга до \(\left (2000000\cdot \left (1+\frac{x}{100}\right )-1210000\right )\) рублей. В конце второго года сумма долга снова возрастает на \(x%\) и, таким образом, становится равной \(\left (1+\frac{x}{100}\right )\cdot \left (2000000\cdot \left (1+\frac{x}{100}\right )-1210000\right )\). Заплатив 1219800 рублей, Иван погашает кредит, то есть \(\left (1+\frac{x}{100}\right )\cdot \left (2000000\cdot \left (1+\frac{x}{100}\right )-1210000\right )=1219800\). В этом уравнении сделаем замену \(y=\(\left (1+\frac{x}{100}\right )\) (\(y>1\)) и разделим обе чисти на 200, получим: \(y\cdot (10000y-6050)=6099\), \(10000y^{2}-6050y-6099=0\). \(D=6050^{2}+4\cdot 10000\cdot 6099=50^{2}(121^{2}+4\cdot 4\cdot 6099)=50^{2}(14641+97584)=50^{2}\cdot 112225=50^{2}\cdot 5^{2}\cdot 4489\). Отсюда \(y_{1, 2}=\frac{6050\pm 50\cdot 5\cdot \sqrt{4489}}{2\cdot 10000}=\frac{121\pm 5\cdot 67}{400}=\frac{121\pm 335}{400}\), \(y=\frac{456}{400}=\frac{114}{100}=1,14\), откуда \(x=14\). Ответ: 14%.

Ответ: 14

Решение №35627: Пусть сумма кредита равна \(S\) рублей, ежегодная выплата равна \(x\) рублей, \(q=1+\frac{r}{100}\) - процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом: июль 2021: \(S_{1}=qS-x\), июль 2022: \(S_{2}=qS_{1}-xq^{2}S-(q+1)x\), июль2023: \(S_{3}=qS_{2}-x=q^{3}S-(q^{2}+q+1)x\), июль 2024: \(S_{4}=qS_{3}-x=q^{4}S-(q^{3}+q^{2}+q+1)x=q^{4}S-\frac{(q^{4}-1)x}{q-1}\). Если долг выплачен двумя равными платежами \(x_{2}\), то \(S_{2}=0\). Тогда \(q^{2}S-(q+1)x_{2}=0\), \(S=\frac{(q+1)x_{2}}{q^{2}}\). Если долг выплачен четырьмя равными платежами \(x_{4}\), то \(S_{4}=0\). Тогда \(q^{4}S-\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q-1}=0\), \(S=\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q^{4}(q-1)}\). Исключив из уравнений сумму кредита \(S\), получим \(\frac{(q+1)x_{2}}{q^{2}}=\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q^{4}(q-1)}\), \(q^{2}=\frac{x_{4}}{x_{2}-x_{4}}\). По условию \(x_{4}=50000\), \(x_{2}=82000\). Значит \(q^{2}=\frac{50000}{82000-50000}=\frac{25}{16}\), \(q=\frac{5}{4}=1,25\), \(r=25%\). Ответ: 25.

Ответ: 25

Решение №35628: Обозначим через \(S\) размер кредита. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает по \(0,2S\) млн. Всего \(0,6S\) за три года. Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до \(1,2S\) млн. Обозначим через \(x\) размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен \(1,2S-x\), а в середине 5-го года он равен \(1,2(1,2S-x)\). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна \(1,2(1,2S-x)\) и по условию равна \(x\). Значит, \(1,2(1,2S-x)=x\), \(2,2x=1,44S\), \(x=\frac{144}{220}S=\frac{36}{55}S\), и общий размер выплат равен \(0,6S+\frac{72}{55}S=\frac{105}{55}S=\frac{21}{11}S\). По условию \(\frac{21}{11}S>15\), \(21S>165\). При \(S=8\) это неравенство верно, а при \(S\leq 7\) оно неверно. Ответ: 8 млн руб.

Ответ: 8000000

Решение №35629: 6840 рублй

Ответ: 6840

Решение №35630: 11

Ответ: 11

Решение №35631: 14

Ответ: 14

Решение №35632: 14

Ответ: 14

Решение №35633: 22

Ответ: 22

Решение №35634: 435000 рублей; на 29%

Ответ: 43500; 29

Решение №35635: 285000 рублей; на 28,5%

Ответ: 285000; 28,5

Решение №35636: 16 млн. рублей

Ответ: 16

Решение №35637: 14

Ответ: 14

Решение №35638: 7

Ответ: 7

Решение №35639: 6 месяцев

Ответ: 6

Решение №35640: 4 года

Ответ: 4

Решение №35641: 1322500 рублей

Ответ: 1322500

Решение №35642: 4300000 рублей

Ответ: 4300000

Решение №35643: 2662000 рублей

Ответ: 2662000