№35635

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 2,4 млн рублей?

Ответ

10

Решение № 35622:

Пусть кредит планируется взять на \(n\) лет. Остаток долга перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т.е. образует убывающую арифметическую профессию: \(8, \frac{8(n-1)}{n}, ... , \frac{8\cdot 2}{n}, \frac{8}{n}, 0\). Пусть \(x_{1}\), \(x_{2}\), ..., \(x_{n}\) — выплаты (в млн рублей), которые производит заёмщик с февраля по июнь каждого года. Каждая выплата состоит из постоянной части, равной \(\frac{8}{n}\), и процентных денег, начисленных на остаток долга: \(x_{1}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot 8\), \(x_{2}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot \frac{8(n-1)}{n}\), ... ,\(\frac{x_{n}=\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot \frac{8}{n}\). Таким образом, \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) тоже образуют убывающую арифметическую прогрессию. Следовательно, наибольшим годовым платежом будет \(x_{1}\). Составим и решим равенство: \(\frac{8}{n}+\frac{20}{100}\cdot 8\leq 2,4\), \(\frac{8}{n}\leq 0,8\), \(n\geq 10\). Поскольку в условии задачи требуется найти минимальное значение \(n\), то \(n=10\). Ответ: 10 лет.