№35641

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, огтавляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 15 млн.

Ответ

8000000

Решение № 35628:

Обозначим через \(S\) размер кредита. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает по \(0,2S\) млн. Всего \(0,6S\) за три года. Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до \(1,2S\) млн. Обозначим через \(x\) размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен \(1,2S-x\), а в середине 5-го года он равен \(1,2(1,2S-x)\). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна \(1,2(1,2S-x)\) и по условию равна \(x\). Значит, \(1,2(1,2S-x)=x\), \(2,2x=1,44S\), \(x=\frac{144}{220}S=\frac{36}{55}S\), и общий размер выплат равен \(0,6S+\frac{72}{55}S=\frac{105}{55}S=\frac{21}{11}S\). По условию \(\frac{21}{11}S>15\), \(21S>165\). При \(S=8\) это неравенство верно, а при \(S\leq 7\) оно неверно. Ответ: 8 млн руб.