№35640

Экзамены с этой задачей: Задачи на кредиты

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на кредиты,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на \(r%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Известно, что если ежегодно выплачивать по 50000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 82000 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число \(r\).

Ответ

25

Решение № 35627:

Пусть сумма кредита равна \(S\) рублей, ежегодная выплата равна \(x\) рублей, \(q=1+\frac{r}{100}\) - процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом: июль 2021: \(S_{1}=qS-x\), июль 2022: \(S_{2}=qS_{1}-xq^{2}S-(q+1)x\), июль2023: \(S_{3}=qS_{2}-x=q^{3}S-(q^{2}+q+1)x\), июль 2024: \(S_{4}=qS_{3}-x=q^{4}S-(q^{3}+q^{2}+q+1)x=q^{4}S-\frac{(q^{4}-1)x}{q-1}\). Если долг выплачен двумя равными платежами \(x_{2}\), то \(S_{2}=0\). Тогда \(q^{2}S-(q+1)x_{2}=0\), \(S=\frac{(q+1)x_{2}}{q^{2}}\). Если долг выплачен четырьмя равными платежами \(x_{4}\), то \(S_{4}=0\). Тогда \(q^{4}S-\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q-1}=0\), \(S=\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q^{4}(q-1)}\). Исключив из уравнений сумму кредита \(S\), получим \(\frac{(q+1)x_{2}}{q^{2}}=\frac{(q^{4}-1)x_{4}}{q^{4}(q-1)}\), \(q^{2}=\frac{x_{4}}{x_{2}-x_{4}}\). По условию \(x_{4}=50000\), \(x_{2}=82000\). Значит \(q^{2}=\frac{50000}{82000-50000}=\frac{25}{16}\), \(q=\frac{5}{4}=1,25\), \(r=25%\). Ответ: 25.