Решение №35753: На счёте Ольги Викторовны через 3 месяца будет сумма \(250000\cdot \left (1+\frac{24}{12\cdot 100 \right )^{3}=250000\cdot 1,02^{3}=250000\cdot 1,061208=265302\) рубля. Её первоначальный вклад увеличится на сумму \(265302-250000=15302\) рубля. Ответ: 265302 рубля, на 15302 рубля.

Ответ: 265302; 15302

Решение №35754: Пусть процентная ставка в этом банке равна \(p%\). Тогда ровно через год вклад Семёна Петровича будет составлять \(8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )\) рублей. После увеличения на 1360 рублей он будет составлять \(\left (8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )+1360\right )\) рублей. Через год вклад будет составлять \(\left (8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )+1360\right )\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right ) \) рублей. По условию получаем уравнение: \(\left (8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )+1360\right )\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )-1440=9360 \). Отсюда \(\left (8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )+1360\right )\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right ) -10800=0\), \(8000\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}+1360\cdot \left (1+\frac{p}{100}\right )-10800=0 \). Пусть \(1+\frac{p}{100}=x\), (\(x>0\)), тогда \(8000\cdot x^{2}+1360\cdot x-10800=0\), \(100\cdot x^{2}+17\cdot x-135=0\), \(x_{1, 2}=\frac{-17\pm \sqrt{289+54000}}{200}=\frac{-17\pm 233}{200}\). \(x=\frac{216}{200}=\frac{108}{100}=1+\frac{8}{100}\). Это означает, что \(p=8\). Ответ: 8%.

Ответ: 8

Решение №35755: Обозначим сумму в рублях, которую дополнительно вносил вкладчик в конце каждого года в течение первых трёх лет, через \(x\). К концу первого года после начисления процентов и внесения дополнительной суммы его вклад составил \(500000\cdot 1,2+x\). К концу второго года после внесения дополнительной суммы он равнялся \((500000\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x\) (рублей). К концу третьего года после внесения дополнительной суммы он был \(((500000\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x\) (рублей). Наконец, к концу четвёртого года он стал \((((500000\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2\)(рублей). Согласно условию, получаем уравнение \((((500000\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2=1364400\), \(500000\cdot 1,2^{4}+((1,2\cdot x+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2=1364400\). Так как \(1,2^{4}=2,0736\) и \(((1,2\cdot x+x)\cdot 1,2+x)\cdot 1,2=4,368x\), то \(500000\cdot 2,0736+4,368x=1364400\), \(1036800+4,368x=1364400\), \(4,368x=327600\), \(x=\frac{327600}{4,368}=75000\). Ответ: 75000 рублей.

Ответ: 75000

Решение №35756: Пусть \(K\) — сумма вклада. Тогда по формуле сложных процентов при ставке годовых \(r%\) через 4 года сумма вклада будет составлять \(K\cdot q^{4}\),где \(q=1+\frac{r}{100}\). По условию \(K\cdot q^{4}>4\cdot K\). Отсюда \(q^{4}>4\). Решим неравенство \(q^{4}-4>0\), \((q^{2}-2)\cdot (q^{2}+2)>0\). Так как \(q^{2}+2>0\) при любом \(q\), то неравенство равносильно неравенству \(q^{2}-2>0\), \(q>\sqrt{2}\), \(1+\frac{r}{100}>\sqrt{2}\), \(r>100(\sqrt{2}-1)\). Оценим \(100(\sqrt{2}-1)=\sqrt{20000}-100\). Поскольку \(141^{2}=19881\), а \(142^{2}=20164\), то \(141<\sqrt{20000}<142\). Это означает, что \(r>41\). Наименьшим целым значением \(r\), удовлетворяющим этому неравенству, является \(r=42\). Ответ: 42.

Ответ: 42

Решение №35757: Обозначим через \(x\) ту сумму, которую ежегодно вкладывал в банк Иван Терентьевич. Тогда по условию в конце дня 31 мая 2015 года сумма вклада будет равна \(\left (\left (x\left (1+\frac{15}{100}\right )+x\right )\cdot \left (1+\frac{15}{100}\right )+x\right )\cdot \left (1+\frac{15}{100}\right )\) (*). Так как \(\left (1+\frac{15}{100}\right )=\frac{23}{20}\), то, преобразуя выражение (*), получаем: \(x\cdot \left (\frac{23}{20}\right )^{3}+x\cdot \left (\frac{23}{20}\right )^{2}+x\cdot \frac{23}{20}=x\cdot \left (\left (\frac{23}{20}\right )^{3}+\left (\frac{23}{20}\right )^{2}+\frac{23}{20}\right )=x\cdot \frac{31947}{20^{3}}\). Согласно условию, получаем уравнение \(x\cdot \frac{31947}{20^{3}}=63894\). Отсюда \(x=\frac{63894\cdot 20^{3}}{31947}=2\cdot 20^{3}=16000\). Ответ: 16000 рублей.

Ответ: 16000

Решение №35758: Приведём таблицу ставки в % за месяц, учитывая, что \(\frac{6%}{12}=0,5%\),\(\frac{18%}{12}=1,5%\), \(\frac{12%}{12}=1%\) (см. рис. ниже). За первый месяц банк на сумму 100% от начального вклада начислит 0,5%, и вклад увеличится на \(100%\cdot 0,005=0,5%\). За второй месяц банк на сумму 110% от начального вклада начислит также 0,5%, что составит \(110%\cdot 0,005=0,55%\). В третьем месяце начисления по вкладу составят 1,5% от 120%, то есть \(120%\cdot 0,015=1,8%\), в четвёртом — \(130%\cdot 0,015=1,95%\), в пятом — \(140%\cdot 0,01=1,4%\) и в шестом — \(150%\cdot 0,01=1,5%\). Всего банк начислил \(0,5%+0,55%+1,8%+1,95%+1,4%+1,5%=7,7%\). Ответ: 7,7%.

Ответ: 7.7

Решение №35759: Пусть в каждом банке клиент открыл вклад в размере \(X\) рублей. Тогда через 3 года на счёте в первом банке будет \((1,08)^{3}X\), а на счёте во втором банке будет \((1,1)^{2}\cdot \left (1+\frac{P}{100}\right )X\). По условию второй вклад принёс больший доход, это значит, что в момент закрытия на втором счёте было больше средств: \((1,08)^{3}X< (1,1)^{2}\cdot \left (1+\frac{P}{100}\right )X\), \((1,08)^{3}<(1,1)^{2}\cdot \left (1+\frac{P}{100}\right )\), \(\frac{(1,08)^{3}}{(1,1)^{2}}<1+\frac{P}{100}\), 1,041...<1+\frac{P}{100}\), 4,1...

Ответ: 5

Решение №35760: Найдём, какая сумма окажется на счёте через 3 года, если сделать вклад каждого типа в размере \(S\). Вклад «Стабильный» каждый год увеличивается на 10%, то есть сумма на счёте за год увеличивается в 1,1 раз. Значит, через 3 года на счёте будет \((1,1)^{3}\cdot S\). На счёте вклада «Прогрессивный» после первого года будет \((1,06)\cdot S\), после второго года — \(\left (1+\frac{p}{100}\right )\cdot (1,06)\cdot S\), а после третьего года — \(\left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}\cdot (1,06)\cdot S\). «Прогрессивный» вклад выгоднее, когда \(left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}\cdot 1,06\cdot S>(1,1)^{3}\cdot S\), \(\left (1+\frac{p}{100})^{2}\cdot 1,06>(1,1)^{3}\), \(\left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}>\frac{1,331}{1,06}\). Умножим обе части неравенства на \(100^{2}\) так, чтобы в левой части получилось целое число: \((100+p)^{2}>\frac{13310}{1,06}\), \((100+p)^{2}>12556,6...\), \(100+p>\sqrt{12556,6...}\). Так как \(p\) — целое число, то \((100+p)\) — тоже целое. Вычислим два последовательных целых числа, между квадратами которых лежит 12556,6...: \(110^{2}=12100\), \(111^{2}=12321\), \(112^{2}=12554\), \(113^{2}=12769\), значит, \(112^{2}<12556,6.. <113^{2}\). Отсюда \(112 <\sqrt{12556,6...}<113\). Так как \((100+p)\) — целое число, то \(100+p\geq 113\), \(p\h=geq 13\). Значит, нам подходит любое \(p\geq 13\), а наименьшее подходящее \(p\) равно 13. Ответ: 13.

Ответ: 13

Решение №35761: Пусть в каждый из двух банков была положена сумма \(S\). Тогда через год в каждом из двух банков будет сумма \(S_{1}=S\cdot q\), где \(q=1+\frac{r}{100}\). Таким образом, начисление \(r%\) годовых соответствует умножению на коэффициент \(q\). Тогда начисление 10% годовых соответствует умножению на коэффициент 1,1. Через 3 года на вкладе в банке «А» будет сумма \(S_{3}(A)=S\cdot q\cdot 1,1^{2}\), а на вкладе в банке «Б» — сумма \(S_{3}(Б)=S\cdot q6{3}\). По условию задачи должно выполняться неравенство \(S_{3}(Б)\geq S_{3}(A)\cdot 1,2\), \(S\cdot q^{3}\geq S\cdot q\cdot 1,1^{2}\cdot 1,2\), \(q^{2}\geq 1,21 \cdot 1,2\), \(q\geq 1,21\), \(1+\frac{r}{100}\geq 1,21\), \(r\geq 21\). Наименьшим целым \(r\), удовлетворяющим неравенству, будет \(r=21\). Ответ: 21.

Ответ: 21

Решение №35762: Обозначим размер довклада за \(x\) тысяч рублей. Изначальный вклад к концу 4-го года станет равным \(200\cdot (1,1)^{4}\) тысяч рублей. Довклад, сделанный в начале 3-го года, — \(x\cdot (1,1)^{2}\) тысяч рублей. А довклад, сделанный в начале 4-го года, — \(x\cdot 1,1\) тысяч рублей. Тогда через 4 года у него на счёте будет \(200\cdot (1,1)^{4}+x\cdot (1,1)^{2}+x\cdot 1,1\) (тысяч рублей), а начисления по вкладу составят \(200\cdot (1,1)^{4}+x\cdot (1,1)^{2}+x\cdot 1,1-(200+2x)\) (тысяч рублей). Начисления не меньше 100 тысяч рублей, поэтому \(200\cdot (1,1)^{4}+x\cdot (1,1)^{2}+x\cdot 1,1-(200+2x)\geq 100\), \(0,31x+92,82\geq 100\), \(0,31x\geq 7,18\), \(x\geq 23,1\).... Наименьшее целое \(x\), при котором это неравенство верно: \(x=24\). Ответ: 24 тысячи рублей.

Ответ: 24000

Решение №35763: Пусть первоначальный вклад равен \(S\) (млн рублей). Начисление 10% соответствует умножению на коэффициент \(1+\frac{10}{100}=1,1\). Тогда в конце первого года вклад составит \(S\cdot 1,1\), в конце второго — \(S\cdot 1,1^{2}=1,21S\). В начале третьего года вклад составит \(1,21S+3\), а в конце — \((1,21S+3)\cdot 1,1=1,331S+3,3\). В начале четвёртого года вклад составит \(1,331S+6,3\), а в конце — \((1,331S+6,3)\cdot 1,1=1,4641S+6,93\). Чтобы найти, какую сумму начислил банк на вклад за 4 года, надо из размера вклада на конец четвёртого года вычесть сумму первоначального вклада \(S\), а также 6 млн рублей, которые вкладчик добавлял в начале третьего и четвёртого годов. По условию банк должен начислить на вклад больше 6 млн рублей. Следовательно, нужно найти такое наименьшее целое значение \(S\), для которого выполняется неравенство \(1,4641S+6,93-S-6>6\); \(0,4641S>5,07\); \(S>10\frac{110}{119}\). Наименьшее целое решение этого неравенства \(S=11\). Значит, размер первоначального вклада составляет 11 млн рублей. Ответ: 11 млн рублей.

Ответ: 11000000

Решение №35764: Обозначим первоначальный вклад \(S\) тыс. рублей. В конце первого года вклад старшей сестры составит \(1,1S\) тыс. рублей, в конце второго — \(1,21S\) тыс. рублей, а в конце третьего — \((1,21S+2x)\cdot 1,05\) тыс. рублей. В конце первого года вклад младшей сестры составит 1,15 тыс. рублей, в конце второго — \((1,1S+x)\cdot 1,1\) тыс. рублей, а в конце третьего — \((1,1(1,1S+x)+x)\cdot 1,05\) тыс. рублей. Через три года размеры сумм на счетах сестёр различались на чётное число тысяч рублей, обозначим это число \(2k\), где \(k\) — целое число. По условию, нужно найти наименьшее натуральное число \(x\), при котором будет выполняться уравнение \((1,1(1,1S+x)+x)\cdot 1,05-(1,21S+2x)\cdot 1,05=2k\), где \(k\) — целое число. \(1,05(1,21S+2,1x-(1,21S+2x))=2k\); \(1,05(0,1x)=2k\); \(2k=0,105x\); \(k=\frac{105x}{2000}=\frac{21x}{400}\). \(k\) — целое число, поэтому \(x\) должно делиться на 400. Наименьшее начальное \(x\) равно 400. Ответ: 400 тысяч рублей.

Ответ: 400000

Решение №35765: Не будем забывать про единицы измерения, так как одна из исличин в условии задачи дана в рублях, а другая — в тысячах рублей. Пусть вклад пролежал \(k\) лет под 10% годовых и \(n\) лет лод 5% годовых. Тогда после \(k+n\) лет вклад составил \(32000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\). Пролежав ещё год, вклад достиг \(32000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\cdot 1,25=40000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\), при этом общий срок хранения вклада \k+n+1\) лет. Составим уравнение \(40000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}=53361\). Домножив обе части этого уравнения на \(10^{k}\cdot 100^{n}\), получим: \(40000\cdot 11^{k}\cdot 105^{n}=53361\cdot 10^{k}\cdot 100^{n}\), то есть \(40000\cdot 11^{k}\cdot 15^{n}\cdot 7^{n}=53361\cdot 10^{k}\cdot 100^{n}\). Обе части этого равенства — натуральные числа, поэтому они единственным образом раскладываются на простые множители. В левой части простой множитель 7 встречается \(n\) раз, а в правой части он встречается столько раз, сколько раз 7 присутствует в разложении числа 53361, так как числа \(10^{k}\) и \(100^{n}\) на 7 не делятся. Последовательно будем делить число 53361 на 7 до тех пор, пока это возможно. Таким образом, установим, что \(53261=7^{2}\cdot 1089\), причём 1089 на 7 не делится. Но тогда \(n=2\). Следовательно, \(40000\cdot 11^{k}\cdot 15^{2}=1089\cdot 10^{k}\cdot 100^{2}\), \(4\cdot 11^{k}\cdot 5^{2}\cdot 3^{2}=1089\cdot 10^{k}\). Сократив обе части последнего равенства на 9, получим: \(100\cdot 11^{k}=121\cdot 10^{k}\), откуда \(\left (\frac{11}{10}\right )^{k}=\left (\frac{11}{10}\right )^{2}\) и \(k=2\). Общий срок хранения вклада равен \(k+n+1=5\) лет. Ответ: 5.

Ответ: 5

Решение №35766: 86400 рублей

Ответ: 86400

Решение №35767: 60000 рублей

Ответ: 60000

Решение №35768: 4 года

Ответ: 4

Решение №35769: 0.08

Ответ: 8

Решение №35770: 0.1

Ответ: 10

Решение №35771: 25000 рублей

Ответ: 25000

Решение №35772: 40000 рублей

Ответ: 40000

Решение №35773: 51200 рублей

Ответ: 51200

Решение №35774: 320000 рублей

Ответ: 320000

Решение №35775: 9 лет

Ответ: 9

Решение №35776: Нет

Ответ: Нет

Решение №35777: 624362 рублей

Ответ: 624362

Решение №35778: 1082224 рублей; 8,2%

Ответ: 1082224; 8,2

Решение №35779: 5

Ответ: 5

Решение №35780: 0.19

Ответ: 19

Решение №35781: 0.10225

Ответ: 10.225

Решение №35782: 9

Ответ: 9