№35778

Экзамены с этой задачей: задачи на вклады

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на вклады,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад составил 53361 рубль. Сколько лет пролежал вклад?

Ответ

5

Решение № 35765:

Не будем забывать про единицы измерения, так как одна из исличин в условии задачи дана в рублях, а другая — в тысячах рублей. Пусть вклад пролежал \(k\) лет под 10% годовых и \(n\) лет лод 5% годовых. Тогда после \(k+n\) лет вклад составил \(32000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\). Пролежав ещё год, вклад достиг \(32000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\cdot 1,25=40000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}\), при этом общий срок хранения вклада \k+n+1\) лет. Составим уравнение \(40000\cdot 1,1^{k}\cdot 1,05^{n}=53361\). Домножив обе части этого уравнения на \(10^{k}\cdot 100^{n}\), получим: \(40000\cdot 11^{k}\cdot 105^{n}=53361\cdot 10^{k}\cdot 100^{n}\), то есть \(40000\cdot 11^{k}\cdot 15^{n}\cdot 7^{n}=53361\cdot 10^{k}\cdot 100^{n}\). Обе части этого равенства — натуральные числа, поэтому они единственным образом раскладываются на простые множители. В левой части простой множитель 7 встречается \(n\) раз, а в правой части он встречается столько раз, сколько раз 7 присутствует в разложении числа 53361, так как числа \(10^{k}\) и \(100^{n}\) на 7 не делятся. Последовательно будем делить число 53361 на 7 до тех пор, пока это возможно. Таким образом, установим, что \(53261=7^{2}\cdot 1089\), причём 1089 на 7 не делится. Но тогда \(n=2\). Следовательно, \(40000\cdot 11^{k}\cdot 15^{2}=1089\cdot 10^{k}\cdot 100^{2}\), \(4\cdot 11^{k}\cdot 5^{2}\cdot 3^{2}=1089\cdot 10^{k}\). Сократив обе части последнего равенства на 9, получим: \(100\cdot 11^{k}=121\cdot 10^{k}\), откуда \(\left (\frac{11}{10}\right )^{k}=\left (\frac{11}{10}\right )^{2}\) и \(k=2\). Общий срок хранения вклада равен \(k+n+1=5\) лет. Ответ: 5.