№35773

Экзамены с этой задачей: задачи на вклады

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на вклады,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Банк предлагает два вида вкладов — «Стабильный» и «Прогрессивный». Вклад «Стабильный» имеет процентную ставку 10% годовых. Вклад «Прогрессивный» — 6% за первый год и \(p%\) начиная со второго года. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Найдите наименьшее целое \(p\), при котором трёхлетний вклад «Прогрессивный» окажется выгоднее, чем «Стабильный».

Ответ

13

Решение № 35760:

Найдём, какая сумма окажется на счёте через 3 года, если сделать вклад каждого типа в размере \(S\). Вклад «Стабильный» каждый год увеличивается на 10%, то есть сумма на счёте за год увеличивается в 1,1 раз. Значит, через 3 года на счёте будет \((1,1)^{3}\cdot S\). На счёте вклада «Прогрессивный» после первого года будет \((1,06)\cdot S\), после второго года — \(\left (1+\frac{p}{100}\right )\cdot (1,06)\cdot S\), а после третьего года — \(\left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}\cdot (1,06)\cdot S\). «Прогрессивный» вклад выгоднее, когда \(left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}\cdot 1,06\cdot S>(1,1)^{3}\cdot S\), \(\left (1+\frac{p}{100})^{2}\cdot 1,06>(1,1)^{3}\), \(\left (1+\frac{p}{100}\right )^{2}>\frac{1,331}{1,06}\). Умножим обе части неравенства на \(100^{2}\) так, чтобы в левой части получилось целое число: \((100+p)^{2}>\frac{13310}{1,06}\), \((100+p)^{2}>12556,6...\), \(100+p>\sqrt{12556,6...}\). Так как \(p\) — целое число, то \((100+p)\) — тоже целое. Вычислим два последовательных целых числа, между квадратами которых лежит 12556,6...: \(110^{2}=12100\), \(111^{2}=12321\), \(112^{2}=12554\), \(113^{2}=12769\), значит, \(112^{2}<12556,6.. <113^{2}\). Отсюда \(112 <\sqrt{12556,6...}<113\). Так как \((100+p)\) — целое число, то \(100+p\geq 113\), \(p\h=geq 13\). Значит, нам подходит любое \(p\geq 13\), а наименьшее подходящее \(p\) равно 13. Ответ: 13.