№35777

Экзамены с этой задачей: задачи на вклады

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на вклады,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Две сестры открыли вклады одинакового размера в одном из банков на три года. Ежегодно в течение первых двух лет банк увеличивал каждый вклад на 10 %, а в конце третьего года — на 5 % по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале второго и третьего годов младшая сестра ежегодно пополняла вклад на \(x\) тысяч рублей, где \(x\) — натуральное число. Старшая сестра пополняла свой вклад только в начале третьего года, но на сумму \(2x\) тыс. рублей. Найдите наименьшее значение \(x\), при котором через три года на счету младшей сестры стало на чётное число тысяч рублей больше, чем у старшей.

Ответ

400000

Решение № 35764:

Обозначим первоначальный вклад \(S\) тыс. рублей. В конце первого года вклад старшей сестры составит \(1,1S\) тыс. рублей, в конце второго — \(1,21S\) тыс. рублей, а в конце третьего — \((1,21S+2x)\cdot 1,05\) тыс. рублей. В конце первого года вклад младшей сестры составит 1,15 тыс. рублей, в конце второго — \((1,1S+x)\cdot 1,1\) тыс. рублей, а в конце третьего — \((1,1(1,1S+x)+x)\cdot 1,05\) тыс. рублей. Через три года размеры сумм на счетах сестёр различались на чётное число тысяч рублей, обозначим это число \(2k\), где \(k\) — целое число. По условию, нужно найти наименьшее натуральное число \(x\), при котором будет выполняться уравнение \((1,1(1,1S+x)+x)\cdot 1,05-(1,21S+2x)\cdot 1,05=2k\), где \(k\) — целое число. \(1,05(1,21S+2,1x-(1,21S+2x))=2k\); \(1,05(0,1x)=2k\); \(2k=0,105x\); \(k=\frac{105x}{2000}=\frac{21x}{400}\). \(k\) — целое число, поэтому \(x\) должно делиться на 400. Наименьшее начальное \(x\) равно 400. Ответ: 400 тысяч рублей.