№35769

Экзамены с этой задачей: задачи на вклады

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, задачи на проценты, задачи на вклады,

Задача в следующих классах: 6 класс 7 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вкладчик положил в банк некоторую сумму. Укажите такое наименьшее целое значение \(r\), чтобы при ставке годовых \(r%\) (это значит, что в каждый последующий год сумма вклада увеличивается на \(r%\) по сравнению с предыдущим) через 4 года сумма вклада стала в 4 раза больше, чем сумма первоначального вклада.

Ответ

42

Решение № 35756:

Пусть \(K\) — сумма вклада. Тогда по формуле сложных процентов при ставке годовых \(r%\) через 4 года сумма вклада будет составлять \(K\cdot q^{4}\),где \(q=1+\frac{r}{100}\). По условию \(K\cdot q^{4}>4\cdot K\). Отсюда \(q^{4}>4\). Решим неравенство \(q^{4}-4>0\), \((q^{2}-2)\cdot (q^{2}+2)>0\). Так как \(q^{2}+2>0\) при любом \(q\), то неравенство равносильно неравенству \(q^{2}-2>0\), \(q>\sqrt{2}\), \(1+\frac{r}{100}>\sqrt{2}\), \(r>100(\sqrt{2}-1)\). Оценим \(100(\sqrt{2}-1)=\sqrt{20000}-100\). Поскольку \(141^{2}=19881\), а \(142^{2}=20164\), то \(141<\sqrt{20000}<142\). Это означает, что \(r>41\). Наименьшим целым значением \(r\), удовлетворяющим этому неравенству, является \(r=42\). Ответ: 42.