Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Постройте треугольник \(АВС\) по сторонам \(АВ\) и \(ВС\) и углу \(А\).

Решение №15812: Сначала постройте угол с вершиной \(А\), равный данному углу \(А\). Затем на од- ной из его сторон отложите отрезок \(АВ\), равный данной стороне, и постройте окружность с центром \(В\), радиус которой равен данной стороне \(ВС\). Точки, в которых эта окружность пересекает другую сторону угла, искомые вершины \(С\). Задача может иметь два решения (как на рисунке ), одно решение или не иметь решений.

Ответ: NaN

Через данную точку внутри угла проведите прямую, пересекающую стороны угла в точках, равноудалённых от вершины угла.

Решение №15813: Проведите через данную точку прямую, перпендикулярную биссектрисе угла.

Ответ: NaN

Впишите в данную окружность квадрат.

Решение №15814: Проведите сначала диаметр\( АВ\) окружности с центром \(О\), а затем через точку \(О\) проведите прямую, перпендикулярную прямой \(АВ\). Эта прямая пересекает окружность в точках \(С\) и \(D\) (рис. 135). Точки \(А\), \(С\), \(В\) и \(D\) — вершины искомого квадрата.

Ответ: NaN

Впишите в данную окружность равносторонний треугольник.

Решение №15815: Проведите сначала диаметр \(АВ\) окружности с центром \(О\), а затем проведите окружность с центром \(А\) и радиусом \(АО\). Эта окружность пересекает данную окружность в точках \(Р\) и \(Q\) (рис. 136). Треугольник \(BPQ\) искомый.

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по стороне \(ВС\), сумме сторон \(АВ + АС\) и разности углов \(\angle C-\angle B\).

Решение №15816: Отложите на продолжении стороны \(АС\) за точку \(А\) отрезок \(АD\) равный стороне \(АВ\) (см.рис.). Тогда \(\angle CBD = \angle B + \frac{\angle A}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle C - \angle B}{2}\). В треугольнике \(CBD\) известны стороны \(ВС\) и \(CD\) и угол \(СBD\). Такой треугольник можно построить. Затем проведите серединный перпендикуляр к отрезку \(BD\) и найдите вершину \(А\).

Ответ: NaN

Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

Решение №15817: Отложите на продолжении катета \(ВС\) за точку \(В\) отрезок \(ВD\) равный гипотенузе \(АВ\) (рис. 138). Прямоугольный треугольник \(АDС\) можно построить по двум катетам. Вершину В можно построить как точку пересечения стороны \(CD\) и серединного перпендикуляра к стороне \(AD\).

Ответ: NaN

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

Решение №15818: Рассмотрите прямоугольный треугольник \(АВС\) и отложите на продолжении катета \(ВС\) за точку \(С\0 отрезок \(СD\), равный катету \(АС\) (рис. 139, а). В треугольнике \(ABD\) нам известен угол D (он равен \(45^{\circ}\) ) и стороны \(BD\) и \(АВ\). Этот треугольник можно построить следующим образом. Постройте угол с вершиной \(D\), равный \(45^{\circ}\) , отложите на одной его стороне отрезок \(DB\), равный данной сумме катетов, и найдите точки \(А_{1}\) и \(A_{2}\) пересечения другой стороны и окружности с центром В, радиус которой равен гипотенузе (рис. ниже). Из точек \(А_{1}\) и \(А_{2}\) проведите перпендикуляры \(А_{1} С_{1}\) и \(А_{2}С_{2}\) к прямой \(ВD\) Треугольники \(А_{1}ВС_{1}\) и \(А_{2}ВС_{2}\) искомые.

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по углам \(А\) и \(В\) и разности сторон \(АС - ВС> 0\).

Решение №15820: Отметьте на стороне \(АС\) треугольника \(АВС\) точку \(D\) так, что \(CD = СВ\), т. е. \(AD = АС — ВС\) (рис. 141). Тогда \(\angle DBC = 90^{\circ}-\frac{\angle C}{2}=\frac{\angle A +\angle B}{2}\) и \(\angle ABD = 180^{\circ} - \frac{\angle A +\angle B}{2}\) В треугольнике \(ABD\) известны сторона \(AD\) и прилегающие к ней углы, поэтому его можно построить. Затем вершину \(С\) можно построить как точку пересечения луча \(AD\) и серединного перпендикуляра к отрезку \(ВD\).

Ответ: NaN

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Решение №15821: Рассмотрите треугольник \(АВС\) и удвойте его медиану \(ВМ\), построив точку \(B_{1}\). Стороны треугольника \(АВВ_{1}\) известны, поэтому его можно построить. Затем постройте медиану \(АМ\) этого треугольника и удвойте её. В результате получена вершина \(С\).

Ответ: NaN

Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она разбивает угол треугольника.

Решение №15822: Рассмотрите треугольник \(АВС\) и удвойте его медиану \(ВМ\), построив точку \(B_{1}\). Сторона \(ВВ_{1}\) треугольника \(АВВ_{1}\) и прилежащие к ней углы известны, поэтому этот треугольник можно построить. Затем постройте его медиану \(АМ\) и удвойте её. В результате получена вершина \(С\).

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по стороне \(АВ\), медиане \(СМ\) и высоте \(СН\).

Решение №15823: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(СМН\) по гипотенузе \(СМ\) и катету \(СН\), а затем на прямой \(МН\) отложите отрезки \(МА\) и \(МВ\), равные половине стороны \(АВ\) (рис. ниже).

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по углу \(А\), биссектрисе \(AD\) и высоте \(АН\).

Решение №15824: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(ADН\) по гипотенузе \(АD\) и катету \(АН\). Затем от луча \(АD\) отложите по разные стороны от него два угла, равные половине угла \(А\) (рис. ниже).

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по стороне \(АВ\), высоте \(АН\) и медиане \(AM\).

Решение №15825: Сначала постройте прямоугольный треугольник \(АВН\) по гипотенузе \(АВ\) и катету \(АН\). Затем постройте прямоугольный треугольник, равный треугольнику \(АМН\), по гипотенузе \(АМ\) и катету \(АН\). От построенной ранее точки Н на прямой \(ВН\) отложите два отрезка \(НМ_{1}\) и \(НМ_{2}\), равные катету \(МН\) (рис. ниже). Затем постройте два отрезка \(ВС_{1}\) и \(ВС_{2}\) так, чтобы точки \(М_{1}\) и \(М_{2}\) были их серединами.

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по сторонам \(АВ\), \(АС\) и высоте \(АН\).

Решение №15826: Постройте прямоугольные треугольники \(АВН\) и \(АСН\) по гипотенузе и катету; эти треугольники могут лежать либо по одну сторону от прямой \(АН\), либо по разные стороны.

Ответ: NaN

Внутри окружности даны две точки. Постройте прямоугольный треугольник, вершины которого лежат на окружности, а катеты проходят через данные точки.

Решение №15827: Постройте окружность, диаметром которой служит отрезок с концами в данных точках. Возьмите одну из точек пересечения построенной окружности с данной окружностью и проведите из неё лучи через в данные точки до пересечения с данной окружностью (рис. ниже). Второй прямоугольный треугольник изображён штриховой линией.

Ответ: NaN

Постройте треугольник \(АВС\) по прямой \(l\), на которой лежит сторона \(АВ\), и точкам \(А_{1}\) и \(В_{1}\) — основаниям высот, проведённых из вершин \(A\) и \(B\).

Решение №15828: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности диаметром \(АВ\). Центр этой окружности можно построить как точку пересечения прямой \(I\) и серединного перпендикуляра к отрезку \(А_{1}В_{1}\) . Затем можно построить саму эту окружность и найти точки \(А\) и \(В\). Точка С строится как точка пересечения прямых \(АВ_{1}\) и \(ВА_{1}\) .

Ответ: NaN

Продолжения сторон \(АВ\) и \(CD\) прямоугольника \(ABCD\) пересекают некоторую прямую в точках \(М\) и \(N\), а продолжения сторон \(AD\) и \(ВС\) пересекают ту же прямую в точках \(Р\) и \(Q\). Постройте прямоугольник \(ABCD\), если даны точки \(М\), \(N\), \(Р\), \(Q\) и длина а стороны \(АВ\).

Решение №15829: Предположите, что прямоугольник \(ABCD\) построен. Опустите из точки \(Р\) перпендикуляр \(PR\) на прямую \(ВС\). Прямоугольный треугольник \(PQR\) можно построить по гипотенузе \(PQ\) и катету \(PR = АВ = а\). Построив точку R, строим прямые \(ВС\) и \(AD\) и опускаем на них перпендикуляры из точек \(М\) и \(N\).

Ответ: NaN

Нарисована окружность, но её центр не отмечен. С помощью одного лишь чертёжного угольника постройте центр этой окружности.

Решение №15830: Если поместить вершину угольника на окружности, то его стороны пересекут окружность в двух точках, являющихся концами одного диаметра. Построив два диаметра, можно построить точку их пересечения, т. е. центр окружности.

Ответ: NaN

С помощью одного лишь чертёжного угольника постройте середину данного отрезка \(АВ\).

Решение №15831: Проведите через точки \(А\) и \(В\) прямые \(АР\) и \(BQ\), перпендикулярные прямой \(АВ\), а затем проведите произвольный перпендикуляр к прямой \(АР\). В результате получен прямоугольник. Постройте точку пересечения его диагоналей и опустите из неё перпендикуляр на прямую \(АВ\).

Ответ: NaN

Дан отрезок \(АВ\). С помощью одного лишь чертёжного угольника постройте отрезок \(АС\), серединой которого является точка \(В\).

Решение №15832: Проведите через точку \(В\) прямую \(l\), перпендикулярную прямой \(АВ\). Затем через точку \(А\) проведите произвольно две перпендикулярные прямые; они пересекают прямую \(I\) в точках \(М\) и \(N\). Достройте прямоугольный треугольник \(МАN\) до прямоугольника \(MANR\). Основание перпендикуляра, опущенного из точки \(R\) на прямую \(АВ\), является искомой точкой \(С\).

Ответ: NaN

Дан угол \(АОВ\). С помощью одного лишь чертёжного угольника постройте угол, вдвое больший угла \(АОВ\).

Решение №15833: Опустите из точки \(А\) перпендикуляр \(АР\) на прямую \(ОВ\) и постройте отрезок \(АС\), серединой которого является точка \(Р\). Тогда угол \(АОС\) искомый.

Ответ: NaN

Дан угол \(АОВ\). С помощью одного лишь чертёжного угольника постройте угол, вдвое меньший угла \(АОВ\).

Решение №15834: Постройте точку \(В_{1}\) так, чтобы точка \(О\) была серединой отрезка \(ВВ_{1}\) . Расположите чертёжный угольник так, чтобы его стороны проходили через точки \(В\) и \(В_{1}\) а его вершина лежала на луче \(ОА\). Пусть \(А\) — вершина расположенного таким образом прямого угла. Тогда угол \(А _{1}В_{1}В\) искомый.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Докажите, что прямая не может пересекать окружность в трёх точках.

Решение №15835: Предположим, что три точки \(А\), \(В\), \(С\) окружности с центром \(О\) лежат на прямой \(l\). Тогда точка \(О\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\) и на серединном перпендикуляре к отрезку \(ВС\). Середины отрезков \(АВ\) и \(ВС\) не совпадают, поэтому из точки \(О\) можно провести два перпендикуляра к прямой \(l\). Это противоречит тому, что из данной точки можно провести только один перпендикуляр к данной прямой, поэтому предположение неверно.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Докажите, что можно провести окружность, проходящую через все вершины данного прямоугольника.

Решение №15836: Рассмотрим окружность, диаметром которой служит диагональ \(АС\) прямоугольника \(АВСD\) . Углы \(АВС\) и \(АDС\) прямые, поэтому точки \(В\) и \(D\) лежат на этой окружности.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на диаметре, проходит через середины двух других его сторон.

Решение №15837: Середины \(М\) и \(N\) сторон \(АС\) и \(ВС\) равностороннего треугольника \(АВС\) являются основаниями высот, проведённых из вершин \(В\) и \(А\). Поэтому углы \(АМВ\) и \(ANB\) прямые, а значит, точки \(М\) и \(N\) лежат на окружности, построенной на отрезке \(АВ\) как на диаметре.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Окружности с центрами \(О_{1}\) и \(O_{2}\) пересекаются в точках \(А\) и \(В\). Докажите, что \(O_{1}O_{2}\perp AB\).

Решение №15838: Точка \(O_{1}\) равноудалена от точек \(А\) и \(В\), поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\). Точка \(O_{2}\) тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Докажите, что две окружности не могут пересекаться в трёх точках.

Решение №15839: Предположите, что окружности с центрами \(О_{1}\) и \(O_{2} пересекаются в трёх точках \(А\), \(В\) и \(С\). Эти точки не могут лежать на одной прямой, поскольку прямая не может пересекать окружность в трёх точках. Прямые \(АВ\) и \(АС\) перпендикулярны прямой \(O_{1}O{2}\). Эти прямые не совпадают, поэтому из точки \(А\) проведены два перпендикуляра к одной прямой.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Две окружности имеют общий центр. Прямая пересекает обе окружности. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между окружностями, равны.

Решение №15840: Середины хорд, которые окружности высекают на прямой, совпадают.

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Диаметр окружности проходит через середину хорды. Докажите, что эта хорда либо перпендикулярна диаметру, либо сама является диаметром.

Решение №15841: Пусть диаметр \(АВ\) проходит через середину \(М\) хорды \(CD\). Предположите, что хорда \(CD\) не является диаметром. Тогда центр \(О\) окружности не лежит на хорде \(СD\), в частности, точки \(О\) и \(М\) различны (рис. 127). Точки \(О\) и \(М\) лежат на диаметре \(АВ\) и равноудалены от точек \(С\) и \(D\), поэтому прямая \(АВ\) — серединный перпендикуляр к хорде \(CD\).

Ответ: NaN

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В.В. Задачи повышенной сложности. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательнх организаций. М. Просвещение,2019 - 80 с. ISBN 978-5-09-064083-1.

Две хорды окружности делят друг друга пополам. Докажите, что их общая точка — центр окружности.

Решение №15842: Предположите, что общая середина \(М\) хорд \(АВ\) и \(CD\) не совпадает с центром О окружности. Тогда обе прямые \(АВ\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(ОМ\).

Ответ: NaN