Решение №14655: Давайте упростим и вычислим выражение \((a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3})^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}}\) при \(a = 0.5\) и \(b = 3\).

1. Начнем с упрощения логарифмических выражений внутри степеней.
2. Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_{a} b\).
3. Применим это свойство к \(\log_{9}25\): \[ \log_{9}25 = \log_{3^2}5^2 = \frac{2}{2} \log_{3}5 = \log_{3}5. \]
4. Применим это свойство к \(\log_{3}125\): \[ \log_{3}125 = \log_{3}5^3 = 3 \log_{3}5. \]
5. Применим это свойство к \(\log_{27}3\): \[ \log_{27}3 = \log_{3^3}3 = \frac{1}{3} \log_{3}3 = \frac{1}{3}. \]
6. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ \left(a^{\frac{\log_{3}5}{3 \log_{3}5}} \cdot b^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}}. \]
7. Упростим показатель степени для \(a\): \[ \frac{\log_{3}5}{3 \log_{3}5} = \frac{1}{3}. \]
8. Подставим значения \(a\) и \(b\): \[ \left((0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{0.5 \cdot 3}(2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 3)^{3}}. \]
9. Упростим выражение внутри логарифма: \[ 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10. \]
10. Подставим это значение: \[ \left((0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}}. \]
11. Упростим выражение внутри скобок: \[ (0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = (0.5 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 1.5^{\frac{1}{3}}. \]
12. Подставим это значение: \[ \left(1.5^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}}. \]
13. Упростим выражение: \[ 1.5^{\frac{1}{3} \cdot \log_{1.5}(10)^{3}} = 1.5^{\log_{1.5}(10)}. \]
14. Используем свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\): \[ 1.5^{\log_{1.5}(10)} = 10. \]
15. Таким образом, окончательный результат: \[ \left(a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}} = 10. \]

Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \left(a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}} = \left(1.5^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}} = 1.5^{\log_{1.5}(10)} = 10. \]

Ответ: 10

Решение №14656: Для упрощения и вычисления выражения \((b^{\frac{\log_{100}a}{\log a}}\cdot a^{\frac{\log_{100}b}{\log b}})^{2\log_{ab}(a+b)}\) при \(a=2\) и \(b=0.01\), выполним следующие шаги:

1. Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение: \((0.01^{\frac{\log_{100}2}{\log 2}}\cdot 2^{\frac{\log_{100}0.01}{\log 0.01}})^{2\log_{ab}(2+0.01)}\).
2. Вычислим \(\log_{100}2\) и \(\log_{100}0.01\):
   • \(\log_{100}2 = \frac{\log 2}{\log 100} = \frac{\log 2}{2}\).
   • \(\log_{100}0.01 = \frac{\log 0.01}{\log 100} = \frac{\log 0.01}{2}\).
3. Подставим эти значения обратно в выражение: \[ \left(0.01^{\frac{\frac{\log 2}{2}}{\log 2}}\cdot 2^{\frac{\frac{\log 0.01}{2}}{\log 0.01}}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \]
4. Упростим показатели степеней:
   • \(\frac{\frac{\log 2}{2}}{\log 2} = \frac{1}{2}\).
   • \(\frac{\frac{\log 0.01}{2}}{\log 0.01} = \frac{1}{2}\).
5. Подставим упрощенные показатели: \[ \left(0.01^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \]
6. Вычислим квадратные корни:
   • \(0.01^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.01} = 0.1\).
   • \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\).
7. Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \]
8. Упростим произведение внутри скобок: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right) = 0.1 \cdot \sqrt{2} \]
9. Вычислим \(\log_{ab}(2+0.01)\):
   • \(\log_{ab}(2.01)\).
10. Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2\log_{ab}(2.01)} \]
11. Вычислим \(\log_{ab}(2.01)\):
    • \(\log_{ab}(2.01) = \frac{\log 2.01}{\log ab}\).
12. Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \]
13. Упростим выражение: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \]
14. Подставим значения: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \]
15. Вычислим окончательное значение: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \]

Таким образом, окончательное значение выражения \((b^{\frac{\log_{100}a}{\log a}}\cdot a^{\frac{\log_{100}b}{\log b}})^{2\log_{ab}(a+b)}\) при \(a=2\) и \(b=0.01\) равно \(\left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}}\).

Ответ: 2.01

Решение №14657: Для упрощения и вычисления выражения \((m^{\frac{\log_{4}n}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\log_{4}m}{\log_{2}m}})^{2\log_{mn}3}\) при \(m = 7\) и \(n = 0.2\), выполним следующие шаги: 1. **Упрощение выражения с использованием свойств логарифмов:** \[ \left(m^{\frac{\log_{4}n}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\log_{4}m}{\log_{2}m}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 2. **Используем свойства логарифмов и степеней:** \[ \log_{4}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}n}{2} \] \[ \log_{4}m = \frac{\log_{2}m}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}m}{2} \] 3. **Подставим эти значения в выражение:** \[ \left(m^{\frac{\frac{\log_{2}n}{2}}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\frac{\log_{2}m}{2}}{\log_{2}m}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 4. **Упростим показатели степеней:** \[ \left(m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 5. **Возьмем квадратный корень из каждого множителя:** \[ \left(\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}\right)^{2\log_{mn}3} \] 6. **Упростим выражение внутри скобок:** \[ \left(\sqrt{mn}\right)^{2\log_{mn}3} \] 7. **Используем свойство степеней:** \[ \left(\sqrt{mn}\right)^{2\log_{mn}3} = (mn)^{\log_{mn}3} \] 8. **Используем свойство логарифмов:** \[ (mn)^{\log_{mn}3} = 3 \] Таким образом, выражение упрощается до: \[ 3 \] Теперь подставим значения \(m = 7\) и \(n = 0.2\): 1. **Подставим значения \(m\) и \(n\):** \[ 3 \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \boxed{3} \]

Ответ: 3

Решение №14658: Для упрощения и вычисления выражения \((a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5}\) при \(a = 0.5\) и \(b = 0.2\), выполним следующие шаги:

1. Упростим выражение \((a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5}\).
2. Используем свойство логарифмов: \(\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\).
3. Применим это свойство к логарифмам с основаниями 8 и 2:
\[ \log_{8}b = \frac{\log_{2}b}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}b}{3} \] \[ \log_{8}a = \frac{\log_{2}a}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}a}{3} \]
4. Подставим эти значения в исходное выражение:
\[ (a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} = (a^{\frac{\frac{\log_{2}b}{3}}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\frac{\log_{2}a}{3}}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} \]
5. Упростим показатели степени:
\[ (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}5} \]
6. Объединим множители внутри скобок:
\[ ((ab)^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}5} \]
7. Упростим выражение:
\[ (ab)^{\frac{1}{3} \cdot 3\log_{ab}5} = (ab)^{\log_{ab}5} \]
8. Используем свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\).
9. Подставим значения \(a = 0.5\) и \(b = 0.2\):
\[ (0.5 \cdot 0.2)^{\log_{0.1}5} = (0.1)^{\log_{0.1}5} \]
10. Применим свойство логарифмов:
\[ (0.1)^{\log_{0.1}5} = 5 \]

Таким образом, ответ будет: \[ (a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} = 5 \]

Ответ: 5

Решение №14659: Для упрощения и вычисления выражения \((a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}})^{3\log_{ab}2}\) при \(a = 4,3\) и \(b = 7\), выполним следующие шаги:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\).
2. Заменим \(\log_{27}b\) и \(\log_{27}a\) с использованием свойства логарифмов:
\[ \log_{27}b = \frac{\log_{3}b}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}b}{3} \] \[ \log_{27}a = \frac{\log_{3}a}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}a}{3} \]
3. Подставим эти значения в исходное выражение:
\[ a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}} = a^{\frac{\frac{\log_{3}b}{3}}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\frac{\log_{3}a}{3}}{\log_{3}a}} = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \]
4. Теперь возведем это выражение в степень \(3\log_{ab}2\):
\[ (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}2} = (a \cdot b)^{\log_{ab}2} \]
5. Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\).
6. Применим это свойство:
\[ (a \cdot b)^{\log_{ab}2} = 2 \]
7. Итак, выражение упрощается до 2.

Теперь подставим конкретные значения \(a = 4,3\) и \(b = 7\):

1. Подставим \(a = 4,3\) и \(b = 7\) в упрощенное выражение:
\[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \]
2. Таким образом, результат выражения при данных значениях равен 2.

Итак, окончательный ответ: \[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \]

Ответ: 2

Решение №14661: Пошаговое решение задачи 'Упростить и Вычислить: выражение \(2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)}\) при \(a=7, b=3\)' выглядит так:

1. Подставим значения \(a = 7\) и \(b = 3\) в выражение: \(2^{(log_{7}3+log_{7}9):(3log_{7}2-log_{7}24)}\).
2. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}(b \cdot c) = log_{a}b + log_{a}c\).
3. Применим это свойство к первой части выражения: \(log_{7}3 + log_{7}9 = log_{7}(3 \cdot 9) = log_{7}27\).
4. Упростим \(log_{7}24\) в знаменателе: \(log_{7}24 = log_{7}(8 \cdot 3) = log_{7}8 + log_{7}3\).
5. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a^b = b\).
6. Применим это свойство к \(log_{7}8\): \(log_{7}8 = log_{7}2^3 = 3 \cdot log_{7}2\).
7. Подставим это в знаменатель: \(3log_{7}2 - (3log_{7}2 + log_{7}3) = 3log_{7}2 - 3log_{7}2 - log_{7}3 = -log_{7}3\).
8. Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(-log_{7}3)}\).
9. Упростим знаменатель: \(-log_{7}3 = log_{7}\left(\frac{1}{3}\right)\).
10. Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(log_{7}\left(\frac{1}{3}\right))}\).
11. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}b : log_{a}c = log_{c}b\).
12. Применим это свойство: \(log_{7}27 : log_{7}\left(\frac{1}{3}\right) = log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\).
13. Упростим \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\): \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3^3 = 3 \cdot log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3\).
14. Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a = 1\).
15. Применим это свойство: \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3 = -1\).
16. Подставим это в выражение: \(3 \cdot (-1) = -3\).
17. Теперь у нас есть выражение: \(2^{-3}\).
18. Упростим \(2^{-3}\): \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).

Итак, ответ будет: \[2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)} = \frac{1}{8} \text{ при } a = 7, b = 3.\]

Ответ: 0.125

Решение №14662: Для решения задачи упростить и вычислить выражение \(5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))}\) при \(a=5, b=2\), выполним следующие шаги:

1. Подставим значения \(a=5\) и \(b=2\) в выражение:
\[ 5^{(log_{2+1}(5-2)-2log_{5-2}(2+1)):(2log_{2}(5-1)-log_{2}(5+3))} \]
2. Упростим аргументы логарифмов:
\[ 5^{(log_{3}(3)-2log_{3}(3)):(2log_{2}(4)-log_{2}(8))} \]
3. Используем свойства логарифмов:
\[ log_{3}(3) = 1 \quad \text{и} \quad log_{3}(3) = 1 \] \[ log_{2}(4) = log_{2}(2^2) = 2 \quad \text{и} \quad log_{2}(8) = log_{2}(2^3) = 3 \]
4. Подставим эти значения в выражение:
\[ 5^{(1-2):(2 \cdot 2 - 3)} \]
5. Упростим выражение в скобках:
\[ 1 - 2 = -1 \quad \text{и} \quad 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]
6. Теперь у нас есть выражение:
\[ 5^{(-1):1} \]
7. Упростим деление:
\[ (-1):1 = -1 \]
8. Подставим результат в выражение:
\[ 5^{-1} \]
9. Используем свойство степени:
\[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
10. Таким образом, окончательный ответ:
\[ \frac{1}{5} \]

Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ 5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))} = 5^{(-1):1} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

Ответ: 0.2