№14660

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((a^{\frac{log_{8}b}{log_{2}b}}\cdot b^{\frac{log_{8}a}{log_{2}a}})^{3log_{ab}5}\) при \(a=0,5, b=0,2\)

Ответ

5

Решение № 14658:

Для упрощения и вычисления выражения \((a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5}\) при \(a = 0.5\) и \(b = 0.2\), выполним следующие шаги: <ol> <li> Упростим выражение \((a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5}\).</li> <li> Используем свойство логарифмов: \(\log_{a^n}b = \frac{1}{n}\log_{a}b\).</li> <li> Применим это свойство к логарифмам с основаниями 8 и 2:</li> \[ \log_{8}b = \frac{\log_{2}b}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}b}{3} \] \[ \log_{8}a = \frac{\log_{2}a}{\log_{2}8} = \frac{\log_{2}a}{3} \] <li> Подставим эти значения в исходное выражение:</li> \[ (a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} = (a^{\frac{\frac{\log_{2}b}{3}}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\frac{\log_{2}a}{3}}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} \] <li> Упростим показатели степени:</li> \[ (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}5} \] <li> Объединим множители внутри скобок:</li> \[ ((ab)^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}5} \] <li> Упростим выражение:</li> \[ (ab)^{\frac{1}{3} \cdot 3\log_{ab}5} = (ab)^{\log_{ab}5} \] <li> Используем свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\).</li> <li> Подставим значения \(a = 0.5\) и \(b = 0.2\):</li> \[ (0.5 \cdot 0.2)^{\log_{0.1}5} = (0.1)^{\log_{0.1}5} \] <li> Применим свойство логарифмов:</li> \[ (0.1)^{\log_{0.1}5} = 5 \] </ol> Таким образом, ответ будет: \[ (a^{\frac{\log_{8}b}{\log_{2}b}} \cdot b^{\frac{\log_{8}a}{\log_{2}a}})^{3\log_{ab}5} = 5 \]