№14664

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\(5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))}\) при \(a=5, b=2\)

Ответ

0.2

Решение № 14662:

Для решения задачи упростить и вычислить выражение \(5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))}\) при \(a=5, b=2\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Подставим значения \(a=5\) и \(b=2\) в выражение:</li> \[ 5^{(log_{2+1}(5-2)-2log_{5-2}(2+1)):(2log_{2}(5-1)-log_{2}(5+3))} \] <li>Упростим аргументы логарифмов:</li> \[ 5^{(log_{3}(3)-2log_{3}(3)):(2log_{2}(4)-log_{2}(8))} \] <li>Используем свойства логарифмов:</li> \[ log_{3}(3) = 1 \quad \text{и} \quad log_{3}(3) = 1 \] \[ log_{2}(4) = log_{2}(2^2) = 2 \quad \text{и} \quad log_{2}(8) = log_{2}(2^3) = 3 \] <li>Подставим эти значения в выражение:</li> \[ 5^{(1-2):(2 \cdot 2 - 3)} \] <li>Упростим выражение в скобках:</li> \[ 1 - 2 = -1 \quad \text{и} \quad 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1 \] <li>Теперь у нас есть выражение:</li> \[ 5^{(-1):1} \] <li>Упростим деление:</li> \[ (-1):1 = -1 \] <li>Подставим результат в выражение:</li> \[ 5^{-1} \] <li>Используем свойство степени:</li> \[ 5^{-1} = \frac{1}{5} \] <li>Таким образом, окончательный ответ:</li> \[ \frac{1}{5} \] </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ 5^{(log_{b+1}(a-2)-2log_{a-2}(b+1)):(2log_{b}(a-1)-log_{b}(a+3))} = 5^{(-1):1} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]