№14658

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((b^{\frac{log_{100}a}{lga}}\cdot a^{\frac{log_{100}b}{lgb}})^{2log_{ab}(a+b)}\) при \(a=2, b=0,01\)

Ответ

2.01

Решение № 14656:

Для упрощения и вычисления выражения \((b^{\frac{\log_{100}a}{\log a}}\cdot a^{\frac{\log_{100}b}{\log b}})^{2\log_{ab}(a+b)}\) при \(a=2\) и \(b=0.01\), выполним следующие шаги: <ol> <li> Подставим значения \(a\) и \(b\) в выражение: \((0.01^{\frac{\log_{100}2}{\log 2}}\cdot 2^{\frac{\log_{100}0.01}{\log 0.01}})^{2\log_{ab}(2+0.01)}\). </li> <li> Вычислим \(\log_{100}2\) и \(\log_{100}0.01\): <ul> <li> \(\log_{100}2 = \frac{\log 2}{\log 100} = \frac{\log 2}{2}\). </li> <li> \(\log_{100}0.01 = \frac{\log 0.01}{\log 100} = \frac{\log 0.01}{2}\). </li> </ul> </li> <li> Подставим эти значения обратно в выражение: \[ \left(0.01^{\frac{\frac{\log 2}{2}}{\log 2}}\cdot 2^{\frac{\frac{\log 0.01}{2}}{\log 0.01}}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \] </li> <li> Упростим показатели степеней: <ul> <li> \(\frac{\frac{\log 2}{2}}{\log 2} = \frac{1}{2}\). </li> <li> \(\frac{\frac{\log 0.01}{2}}{\log 0.01} = \frac{1}{2}\). </li> </ul> </li> <li> Подставим упрощенные показатели: \[ \left(0.01^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \] </li> <li> Вычислим квадратные корни: <ul> <li> \(0.01^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.01} = 0.1\). </li> <li> \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\). </li> </ul> </li> <li> Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2\log_{ab}(2+0.01)} \] </li> <li> Упростим произведение внутри скобок: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right) = 0.1 \cdot \sqrt{2} \] </li> <li> Вычислим \(\log_{ab}(2+0.01)\): <ul> <li> \(\log_{ab}(2.01)\). </li> </ul> </li> <li> Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2\log_{ab}(2.01)} \] </li> <li> Вычислим \(\log_{ab}(2.01)\): <ul> <li> \(\log_{ab}(2.01) = \frac{\log 2.01}{\log ab}\). </li> </ul> </li> <li> Подставим результаты: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \] </li> <li> Упростим выражение: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \] </li> <li> Подставим значения: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \] </li> <li> Вычислим окончательное значение: \[ \left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}} \] </li> </ol> Таким образом, окончательное значение выражения \((b^{\frac{\log_{100}a}{\log a}}\cdot a^{\frac{\log_{100}b}{\log b}})^{2\log_{ab}(a+b)}\) при \(a=2\) и \(b=0.01\) равно \(\left(0.1 \cdot \sqrt{2}\right)^{2 \cdot \frac{\log 2.01}{\log ab}}\).