№14663

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\(2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)}\) при \(a=7, b=3\)

Ответ

0.125

Решение № 14661:

Пошаговое решение задачи 'Упростить и Вычислить: выражение \(2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)}\) при \(a=7, b=3\)' выглядит так: <ol> <li> Подставим значения \(a = 7\) и \(b = 3\) в выражение: \(2^{(log_{7}3+log_{7}9):(3log_{7}2-log_{7}24)}\).</li> <li> Используем свойство логарифмов: \(log_{a}(b \cdot c) = log_{a}b + log_{a}c\).</li> <li> Применим это свойство к первой части выражения: \(log_{7}3 + log_{7}9 = log_{7}(3 \cdot 9) = log_{7}27\).</li> <li> Упростим \(log_{7}24\) в знаменателе: \(log_{7}24 = log_{7}(8 \cdot 3) = log_{7}8 + log_{7}3\).</li> <li> Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a^b = b\).</li> <li> Применим это свойство к \(log_{7}8\): \(log_{7}8 = log_{7}2^3 = 3 \cdot log_{7}2\).</li> <li> Подставим это в знаменатель: \(3log_{7}2 - (3log_{7}2 + log_{7}3) = 3log_{7}2 - 3log_{7}2 - log_{7}3 = -log_{7}3\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(-log_{7}3)}\).</li> <li> Упростим знаменатель: \(-log_{7}3 = log_{7}\left(\frac{1}{3}\right)\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(2^{(log_{7}27):(log_{7}\left(\frac{1}{3}\right))}\).</li> <li> Используем свойство логарифмов: \(log_{a}b : log_{a}c = log_{c}b\).</li> <li> Применим это свойство: \(log_{7}27 : log_{7}\left(\frac{1}{3}\right) = log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\).</li> <li> Упростим \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}27\): \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3^3 = 3 \cdot log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3\).</li> <li> Используем свойство логарифмов: \(log_{a}a = 1\).</li> <li> Применим это свойство: \(log_{\left(\frac{1}{3}\right)}3 = -1\).</li> <li> Подставим это в выражение: \(3 \cdot (-1) = -3\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(2^{-3}\).</li> <li> Упростим \(2^{-3}\): \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).</li> </ol> Итак, ответ будет: \[2^{(log_{a}b+log_{a}9):(3log_{a}2-log_{a}8b)} = \frac{1}{8} \text{ при } a = 7, b = 3.\]