№14661

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((a^{\frac{log_{27}b}{log_{3}b}}\cdot b^{\frac{log_{27}a}{log_{3}a}})^{3log_{ab}2}\) при \(a=4,3, b=7\)

Ответ

2

Решение № 14659:

Для упрощения и вычисления выражения \((a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}})^{3\log_{ab}2}\) при \(a = 4,3\) и \(b = 7\), выполним следующие шаги: <ol> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\).</li> <li> Заменим \(\log_{27}b\) и \(\log_{27}a\) с использованием свойства логарифмов:</li> \[ \log_{27}b = \frac{\log_{3}b}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}b}{3} \] \[ \log_{27}a = \frac{\log_{3}a}{\log_{3}27} = \frac{\log_{3}a}{3} \] <li> Подставим эти значения в исходное выражение:</li> \[ a^{\frac{\log_{27}b}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\log_{27}a}{\log_{3}a}} = a^{\frac{\frac{\log_{3}b}{3}}{\log_{3}b}} \cdot b^{\frac{\frac{\log_{3}a}{3}}{\log_{3}a}} = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \] <li> Теперь возведем это выражение в степень \(3\log_{ab}2\):</li> \[ (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^{3\log_{ab}2} = (a \cdot b)^{\log_{ab}2} \] <li> Вспомним свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\).</li> <li> Применим это свойство:</li> \[ (a \cdot b)^{\log_{ab}2} = 2 \] <li> Итак, выражение упрощается до 2.</li> </ol> Теперь подставим конкретные значения \(a = 4,3\) и \(b = 7\): <ol> <li> Подставим \(a = 4,3\) и \(b = 7\) в упрощенное выражение:</li> \[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \] <li> Таким образом, результат выражения при данных значениях равен 2.</li> </ol> Итак, окончательный ответ: \[ (4,3 \cdot 7)^{\log_{4,3 \cdot 7}2} = 2 \]